包括代數函數和超越函數。基本初等函數是實變數或複變數的指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數經過有限次四則運算及有限次複合後所構成的函數類。這是分析學中最常見的函數，在研究函數的一般理論中起著很重要的作用。
實變數初等函數 定義域為實數域的初等函數。
有理函數 實係數多項式
稱為整有理函數。其中最簡單的是線性函數
y=α
0+α
1
x，它的圖形是過
y軸上
y=α
0點的斜率為α
1的直線。二次整有理函數
y=α
0+α
1
x+α
2
x
2的圖形為拋物線。兩個整有理函數之比
(1)
稱為分式有理函數。其中最簡單的是
其圖形為雙曲線。整有理函數和分式有理函數統稱有理函數。有理函數起源於代數學。
求有理函數的反函數則可產生代數函數。如y=xn的反函數為
三角函數和反三角函數 這是起源於幾何學的最簡單的超越函數。高等分析學中計量角度的方法是所謂弧度法，即以單位圓周上的弧段量度相應的圓心角。三角函數是sinx、cosx以及由它們導出的
和
它們的定義如圖
1
所示。
sin
x和
cos
x在
x=0處的泰勒展式為
(2)
(3)
它們的收斂半徑為
。
sin
x、
cos
x、
tan
x、
cot
x、
sec
x、
cosec
x的反函數分別為
arcsin
x、
arccos
x、
arctan
x、
arccot
x、
arcsec
x、
arccosec
x(或記為
sin
-1
x、
cos
-1
x、
tan
-1
x、
cot
-1
x、
sec
-1
x、
cosec
-1
x)，並稱為反三角函數。
指數函數和對數函數 設α為一正數，則y=αz表示以α為底的指數函數（圖2）。其反函數y＝logαx稱為以α為底的對數函數(圖3)。特別當α=e時稱y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）為指數函數和對數函數。logx能由下面的積分式定義
它表示由雙曲線
、下由
t軸、左右分別由
t=1和
t=
x兩直線所圍的面積。由此可知當
x在正實軸上變化時，
y=
log
x取值在實軸上，且log1=0。它是
x的增函數，導數
。此外
log
x滿足加法定理，即log(
x
1·
x
2)=
log
x
1+
log
x
2。
y＝logαx(a＞0)
對數函數的反函數指數函數ex是定義在實軸上取值於正實數的增函數，且 e0＝1。ex的導數與它本身相同。此外ex滿足乘法定理，即
。
e
x在
x=0處的泰勒展式為
。 (4)
雙曲函數和反雙曲函數 由指數函數經有理運算可導出雙曲函數。其性質與三角函數很相似，並以 sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定義如下：
分別稱為雙曲正弦（圖4）和雙曲餘弦（圖5）。像三角函數一樣，由它們導出的雙曲正切（圖6）
tanh
x=
sinh
x/
cosh
x，雙曲餘切（圖7）
coth
x＝
cosh
x/
sinh
x等都稱為雙曲函數。它們有如下的幾何解釋，即雙曲線
x
2-
y
2=1(
x＞0)上取一點
M，又令
O為原點，
N＝(1，0)，將
O
N，
O
M和雙曲線上的弧
所圍面積記為
θ/2，點
M的坐標視為
θ的函數，並記為
cosh
θ和
sinh
θ，即有表示式(5)。
y=sinhx
復變量初等函數 定義域為復數域的初等函數。
有理函數、冪函數和根式函數 兩個復系數的多項式之比為有理函數，它實現擴充的復平面
到自身的解析映射。分式線性函數
是一個特殊的有理函數，它在復分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數
w＝
z
n，
n是自然數，它在全平面是解析的，且
。因此當
n≥2時，它在全平面除
z=0以外到處實現
共形映射（保角映射）。它將圓周丨
z丨=
r變為圓周|
w|=
r
n，將射線
arg
z=θ變為射線
arg
w＝
nθ。任何一個區域，隻要該區域中任兩點的輻角差小於2π/
n，它就是
w＝
z
n的單葉性區域。冪函數
w＝
z
n的反函數為根式函數
，它有
n個值，
(
k=0，1，…，
n-1)，稱為它的分支。它們在任何區域θ
1<
arg
z<θ
1＋2π中都單值解析而且將這個區域變為區域
。它們的導數為
。
指數函數和對數函數 在指數函數式(4)中將x換為復變量z，便得到復變量的指數函數w＝ez，並且
，顯然有
(
k為整數)。
復指數函數有類似於實指數函數的性質：
e
z是一整函數且對任何復數
z，
e
z≠0；它滿足乘法定理：
；
e
z以
2
kπi為周期，即
；並且它的導數與本身相同，即
。函數
w＝
e
z在全平面實現共形映射。任何一個區域，隻要對區域內任兩點，其虛部之差小於2π，它就是
e
z的單葉性區域。例如
，
指數函數把直線
x=
x
0變為圓周
，把直線
y=
y
0變為射線
arg
w＝
y
0，因而把區域
S
k變為區域0<
arg
w＜2π，把寬度為
β的帶形區域α
0＜Imz＜α
0+
β(
β≤2π)變為開度為
β的角形域α
0<
arg
w＜α
0+
β。對數函數
w＝Lnz是指數函數
e
z的反函數，它有無窮多個值
2
kπ)（
k為整數），稱為它的分支。每一個分支在區域θ
0<
arg
z<θ
0+2π中是解析的，且有
。對數函數把這個區域單葉地變為帶形區域
θ
0＜
Im
w<θ
0＋2π，也把開度為
β的角形域θ
0<
arg
z<θ
0＋
β(
β≤2π)變為寬度為
β的帶形區域θ
0＜
Im
w<θ
0+
β。特別(
Ln
z)
0=
Ln
z是實對數函數
ln
z在復數域上的推廣。象實對數函數一樣，它滿足加法定理，即對任兩個不為零的復數
z
1和
z
2，有
。
一般冪函數 對於復數α，冪函數zα定義為
。一般來說，它是多值函數。特別當α=
n是正整數時，它就是冪函數
w＝
z
n；當
，
n為正整數，它就是根式函數
。
三角函數、反三角函數、雙曲函數 這些函數是作為相應的實變量函數的解析開拓而得。例如將(2)和(3)式中變量x換為復變量z，則得到sinz和 cosz，它們是整函數。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數。它們能表示為
，
，
。
它們具有實三角函數的很多類似性質：周期性、微商性質、三角恒等式等。但丨
sin
z丨≤1，丨
cos
z丨≤1不是對任何
z都成立。由於三角函數與指數函數密切聯系，因此應用時很方便。
sin
z的單葉性區域可取
，
，
或
。
它將
G
k單葉並共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1，1]和負虛軸後得到的區域；它將
R
k單葉地並共形地映為全平面除去實軸上兩條射線(-
，-1]和[1，
)後得到的區域。類似地可以指出
cos
z的單葉性區域。
w＝Arcsinz，w＝Arccosz，w＝Arctanz分別是 sinz，cosz和tanz的反函數，並稱為反三角函數。它們能由對數函數合成，即可表為
，
，
等，它們都是多值函數。在適當的區域中確定瞭單值解析分支後，就有
，
，
等。像實雙曲函數一樣，由指數函數能合成雙曲函數，
，
等為雙曲函數。由定義它們與三角函數有下面的關系：
。
並因此有
。此外
。
w＝Arcsinhz，w＝Arccoshz分別是sinhz和coshz的反函數，並稱為反雙曲函數。它們能由對數函數合成，即可表為
，
。
一般初等函數的導數還是初等函數，但初等函數的不定積分不一定是初等函數。另外初等函數的反函數不一定是初等函數。