能用微積分的方法求出其通解或通積分的常微分方程。常微分方程的通解，粗略地說就是：①它把未知函數y表示為引數x的顯函數的形式y=φ(x)，此函數滿足該微分方程。②在此運算式中含有一些任意常數，其個數恰等於方程的階數。當這些常數任意變動時即能得到方程的所有解，除瞭少數解是例外。③運算式適適用於全空間，或至少不是局部的而是大范圍的。如果在這定義中不要求①成立，即在所得的表達式中未知函數可能是自變量的隱函數形式φ(x，y)=0，則稱此表達式為通積分。通解（或通積分）的嚴格定義，實際上就是進一步把條件②的後半部作嚴格的敘述，即要求：對於該表達式所適用的區域中任意給定的初始條件，必能找到任意常數的一組確定的值，使得這組值所對應的解（或積分）能夠滿足這個初始條件。
出現於方程中的變量x、y可以是實變量，也可以是復變量。一個解y＝φ(x)或積分φ(x，y)=0在(x，y)空間中的軌跡稱為方程的積分曲線。當（x，y）為實數時，積分曲線就是（x，y）平面上的曲線。當（x，y）為復數（x=x1+ix2，y=y1+iy2）時，積分曲線是四維實空間（x1，x2，y1，y2）中的二維曲面。通解或通積分的軌跡稱為積分曲線族。要求一個解或積分滿足已給的初始條件，就是要求由它所確定的積分曲線通過預先給定的一點。
下面根據方程形式的不同，或階數與個數的不同，分別作簡要的介紹：
可分離變量的方程 形如
(1)
的一階方程稱為可分離變量的方程，當
f
2(
y)
g
1(
x)≠0時，(1)可化為變量已分離的方程
兩邊求積分，即得通積分
(2)
式中
C為任意常數。如能由(2)解出
，(3)
則稱之為(1)的通解。(2)或(3)滿足上述對通解或通積分要求。除此以外，還必須再補上使
f
2(
y)=0的一個或多個的常數解
y≡
y
i，以及使
g
1(
x)=0的常數解
x≡
x
j，這些常數解有時能由(2)中令
C=0 或1/
C=0得到，有時則不能。例如，在用分離變量法求解方程
時丟掉的解
y=±1不能包含在通解
y=sin(
x+
C)之中。這一類丟掉的解往往是奇解。所謂奇解就是在其上處處破壞初值問題惟一性的解（見
常微分方程初值問題）。
有些看上去是不能分離變量的方程，通過變量代換可以化為可分離變量的方程來求解。最常遇到的是齊次常微分方程
(4)
它可借代換
y=
u
x而化為
這裡應註意，一般講，
x=0並非(4)的解。還有一些方程，例如，方程
經代換
y=
x+
u，方程
經兩次代換
y
3=
v及
v=
u
x，均可化為可分離變量的方程。不過用這種方法有時並非易事，也並不一定都能辦到。
一階線性方程 形如
(5)
的方程稱為一階線性方程，其中
P(
x)、
Q(
x)為已知函數。在分離變量法中，
x、
y被平等地看待，而方程(5)僅當把
x看成自變量、
y看成未知函數時它才稱為線性方程，理由是此方程對於
y與
y′的總體來說是線性的。稱
(6)
為對應的齊次線性方程，它有通解
(7)
式中
C為任意常數。又(6)的滿足初始條件
y(
x
0)=
y
0的特解是
(8)
對於(5)，可以求它的形如(7)的通解
(9)
但其中
C(
x)是
x的待定的函數。(9)式實際上也是一種變量代換。由此即可求出
C(
x)，從而得到(5)的通解為
(10)
式中
C
1為任意常數。又(5)的滿足初值條件
y(
x
0)=
y
0的特解是
(11)
以上這種解法稱為常數變易法，它同樣適用於線性方程組和線性高階方程。即使對無法求出通解的非線性方程，常數變易公式（類似於(11)式）在理論研究上也是十分有用的。
有些微分方程可以通過變量代換而化為一階線性方程。最常見的是伯努利方程
(12)
所用的變量代換是
z=
y
。又如對方程
可改用
x為未知函數、
y為自變量而化為
又如
可借變量代換
w＝
arctan
v而化為線性方程，等等。
黎卡提方程及其他 在常微分方程的發展史上，黎卡提方程
(13)
有著特殊的重要性。J.F.黎卡提本人研究瞭(13)的特例
(14)
證明若α=
4
k/(1±
2
k)，(
k=0，1，2，…)，則(13)總可通過變量代換而化為可分離變量的方程。方程(13)還有一些其他的可積類型。但是早在1841年
J.劉維爾就證明瞭：當α≠
4
k/(1±
2
k)，(14)不能用初等積分法求有限形式的通解，因此，對於一般的(13)，不能用有限次的初等運算求其通解。如果已知(13)的一個特解
y
1(
x)，則借代換
y=
y
1(
x)+
z可以化(13)為伯努利方程，由此可導出(13)的通解是任意常數的分式線性函數。又若已知(13)的三個特解
y
1，
y
2，
y
3，則通解可由
給出；從而(13)的任意四個特解的交比恒等於常數。
復變量的黎卡提方程在常微分方程解析理論中也有它的重要性，因為它是隻可能有動極點而無動支點的方程，此外，它還和微分幾何學與復變函數論中的一些重要問題有密切關系。
熟知的可積類型還有：①雅可比方程
它至少有一直線解
u
1
x+
u
2
y+
u
3=0，而經變量代換
則可化為
x′，
y′的齊次方程。②達佈方程
(16)
式中
f
i(
x，
y)都是
x、
y的多項式，其最高次數為
m。當有
個特解為已知時，它是可積分的。③第一類阿貝爾方程
和第二類阿貝爾方程
它們也有不少情況是可積的。E.卡姆克在他的《微分方程──解法和解》（第1卷中譯本名為《常微分方程手冊》，1977）一書中列舉瞭這些情況。秦元勛指出，其中有一半以上的可積一階方程其通積分都具有（通常稱為達佈積分）
(17)
的第一類顯易解結構及形如
的第二類顯易解結構。
恰當方程與積分因子 滿足條件
(18)
的微分方程
(19)
(19)稱為恰當（微分）方程或全微分方程。(19)式左邊可寫為
d
U(
x，
y)的形式，
U(
x，
y)可借沿特殊道路的線積分求出，而(19)的通積分是
U(
x，
y)=
C。但若
M、
N的偏導數有不連續點時，則
U(
x，
y)可能是多值函數。
當條件(18)不滿足時，如果能找到函數μ(x，y) 使
或即
(20)
則方程
μ
M
d
x＋
μ
N
d
y=0便成為恰當方程。稱
μ(
x，
y)為(19)的積分因子。積分因子有無數個之多，當已知一個積分因子
μ時，其他的積分因子便都可寫成
μ
φ(
U)的形式，因此
μ
1(
x，
y)/
μ
2(
x，
y)=
C也是(19)的通積分。
(20)是關於μ(x，y)的一階線性偏微分方程，求它的通解比求(19)的通解困難。但當M、N滿足一定的條件時可以隻求(20)的一個一元函數特解。例如，若
(21)
即(21)式左邊的表達式與
y無關，則這時(20)有解
它就是(19)在條件(21)之下的積分因子。仿此，可以得出(19)有形如
μ(
y)，
等形狀的積分因子時所應滿足的條件。
易見方程(1)實際上是借積分因子
而被化為恰當方程(2)，方程(5)滿足條件(21)，故有積分因子
又當(19)為齊次方程且
x
M+
y
N扝0時有積分因子
一階隱方程 形如
(22)
的方程稱為一階隱方程。當
x、
y的值固定時，一般由(22)可以解出不止一個的
y′的值，這表示往往有多於一條的積分曲線經過(
x，
y)空間的一定點。特別，如果對於某一曲線Г上的每一點(
x，
y)，由(22)式解得的
y′都有重根，並且Г本身也是(22)的積分曲線，則它往往就成為(22)的奇解。一般，Г也是(22)的積分曲線族的包絡（有例外）。所以，求解隱方程(22)時經常在通解以外還可以得到奇解或包絡。當求解由幾何學所導出的隱方程時，目的往往是後者而非前者。
若(22)可就y′解得若幹個一階顯方程
(23)
又能求得(23)中每一方程的通積分為
G
i(
x，
y，
C)=0，則(22)的通積分是
又若已知曲面F(x，y，z)=0有參數表示式：
則方程(22)等價於
由此可得
u、
v的一階顯方程
(24)
若ω（
u，
v，
C）=0是(24)的通積分，則
x=f(
u，
v)，
y＝
g(
u，
v)，ω(
u，
v，
C)=0是(22)的通積分。這種求解方法稱為引入參數法。
在求解(22)時，常記y′為p，且以p為參數來表達積分曲線族的方程。若由(22)可解得y=f(x，p)或x=φ(y，p)，取x、p(或y、p)為參數即可把(22)化成(24)的形式。又若(22)取特殊形式
(25)
則隻要知道這種隱方程的參數表達式，由此導出的方程(24)必定是變量可分離的方程。
如果存在常數k，使(22)中的函數F能滿足
則(22)稱為廣義齊次方程。這時可令
x=
e
t，
y=
z
e
k
t，而化(22)為
即(25)的前一方程的形式。顯然當
k=1時(22)是比(4)更廣的齊次一階隱方程。
一階隱方程中，特別重要的是克萊羅方程
(26)
它的通解是
y=
C
x+
φ(
C)，表示一族直線；而奇解恰好是此直線族的包絡。方程(26)之所以重要是因為幾何學中要找一條曲線，使它的任一切線都具有某種與切點無關的性質，則所得的正是形如(26)的方程，其中
x、
y為實變量。
有時對方程(22)可使用勒讓德變換X=y′，Y=xy′-y將方程變形。此變換的逆變換也具有同樣的形式：
；稱為對稱原理。當兩方程
F(
x，
y，
p)=0與
F(
P，
X
P-
Y，
X)=0中的任一個可求積時，另一方程的通解便可借代數方法由前一方程的通解導出。這種變換在微分方程的理論研究中也很有用處。
對於方程(22)，由F(x，y，p)=0及
消去
p得到的關系式
φ(
x，
y)=0，稱為(22)的
p-判別式。設(22)的通積分為
φ(
x，
y，с)=0，則由
φ(
x，
y，с)＝0及
消去
C而得到的關系式ψ(
x，
y)=0稱為(22)的
C-判別式。如果(22)的奇解或積分曲線族的包絡存在的話，其方程必同時含於
p-判別式和
C-判別式之中，但其逆不一定成立。一個典型的例子是
(27)
其通積分為
C-判別式為
x(
x-α)＝0，
p-判別式為
是奇解，也是積分曲線族的包絡。但
x=α是結點軌跡，不是(27)的解；
是切點軌跡，也不是(27)的解。若α=0，則
x=0成為積分曲線族
的尖點軌跡，它也不是方程
4
p
2=
9
x的解。
高階方程 一般形式為
(28)
這類方程中比較典型的可求通積分或可降階的有以下幾種：①
y
=f(
x)，對
x積分
n次即得通解。②
y″=f(
y)，此方程有明顯的物理學意義。以
2d
y乘之，積分，得：
它表示能量守恒律，再積分即得通解。③
F(
x，
y
，…，
y
)＝0可借代換
z=
y
降階
k次。④
F(
y，
y′，…，
y
)=0，可改取
y為自變量，
y′=
p為未知函數而降階一次。⑤
F(
x，
y
)＝0，若能找到方程的參數表示式
x＝
φ(
t)，
y
=ψ(
t)，便可將
y
逐次對
x積分而得出通解的參數表示式。⑥若
F對
y，
y′，…，
y
為齊次函數，即
F(
x，
t
y，…，
t
y
)=
t
m
F(
x，
y，…，
y
)，則可借代換z=
y′/
y而把（28）降階一次。⑦像一階恰當方程一樣，(28)有時也可表為
的形式。積分一次，即可降階為
n-1階方程，例如若
(29)
關於
y″為線性，記
F(
x，
y，
y′，
y″)＝
A(
x，
y，
y′)
y″+
B(
x，
y，
y′)，視
x、
y為常數，將
A對
y′積分，記其原函數為
G(
x，
y，
y′)，設
且
M、
N滿足條件(18)，則(29)即為恰當方程。特別，二階線性方程
y″+
p(
x)
y′+
q(
x)
y+
r(
x)=0，當
q(
x)=
p′(
x)時為恰當方程。
方程組的初等積分法 方程組
(30)
的初等積分法基本上依賴於前面講過的兩種方法的合並使用，即，①經過方程之間的組合以構成可積方程；②利用已經得到的積分（稱為首次積分）來減少未知函數的個數。隻要能得到
n個獨立的首次積分，它們合在一起就構成瞭(30)的通積分。為瞭實現①，往往把(30)改寫成
的形式，然後利用比例的性質得到分子與分母的有用的組合。例如對
(31)
由第一等式和前兩個等式不難得到兩個獨立首次積分：
再用後一等式代入(31)的最後一項，令與第一項相等，又可積得
它和前兩個首次積分一起就構成(31)的通積分。有時用不同的方法可得不同的首次積分，但可證明(30)的獨立的首次積分最多隻有
n個。又若能用上述方法求得(30)的
k個獨立的首次積分，就可以利用它們來把(30)降為隻 含
n-
k個未知函數的方程組。一般，由實際問題導出的方程組要想用初等積分來求得通解往往是辦不到的。例如在天體力學中，由三體問題建立的一階方程組含有18個方程，而人們隻能找到它的10個獨立的首次積分。即使對平面限制性圓形三體問題的最簡單情況，通積分也還未求出來。