用拓撲方法研究變分問題的數學分支。古典的變分法研究泛函的極值──極大值或極小值。然而物理、幾何以及分析中提出的變分問題,一般不僅要研究泛函的極值點,而且還要研究其臨界點,即其變分為零的點。大範圍變分法就是研究臨界點的理論。
假設M是一個微分流形,f是M上的光滑函數,所謂一點p∈M是f的臨界點,是指f<的導映射df在這點為零。f在臨界點處的值,稱為臨界值。對任意實數α,稱fα={p∈M|f(p)≤α}為函數f的水平集。大范圍變分法的基本手法是通過考察拓撲空間fα隨α變化時,其拓撲結構的變化,來判定臨界點的存在性和估計臨界點的個數。下面是一個有啟發性的例子。考察切於平面π的一個環面M,如圖
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設f:M→R1是關於平面π的高度,易見:①當α<0時,fα=ø,②當α=0時,fα={p0},如圖之a,③當0<α<h1時,fα如圖之b,④當h1<α<h2時,fα如圖之c,⑤當h2<α<h3時,fα如圖之d,⑥當α≥h3時,fα=M,如圖之e。其中hi=f(pi)(i=1,2,3),連同極小值0,都是f的臨界值。這個例子表明:若在實數α,b(α<b)之間沒有f的臨界值,則fα與fb是同胚的,但當α越過f的一個臨界值時,一般地,fα的拓撲結構將發生變化。這就是大范圍變分法的基本出發點。
H.M.莫爾斯考察瞭非退化函數的臨界點的性態與緊流形M本身的拓撲結構間的聯系。函數f稱為是非退化的,是指在它的所有臨界點上,對應的由二階導數構成的黑塞矩陣(
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基於類似的基本思想,Л.Α.柳斯捷爾尼克、Л.Γ.施尼雷爾曼開辟瞭另一條估計臨界點個數的途徑。對M上任意閉子集A,稱A在M中的疇數為m,記作Cat(A)=m,是指A可以被m個可縮閉集所覆蓋,但不能被m-1個這樣的集合覆蓋。疇數是一個拓撲不變量。為估計緊流形M上的函數f的臨界點個數有下界Cat(M),柳斯捷爾尼克、施尼雷爾曼引進瞭下述重數定理:設
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R.S.帕萊斯和S.斯梅爾把莫爾斯理論及柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼理論中流形M的緊性條件去掉,代之以在函數f上添加帕萊斯-斯梅爾條件,即對於M上的任意點列{pn},條件f(pn)有界,連同df(pn)→θ,蘊涵瞭{pn}有子列收斂。
莫爾斯理論以及柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼理論都被成功地應用到許多變分問題中去,特別是應用於研究黎曼流形上的閉測地線的個數,以及楊-米爾斯方程。
A.阿姆佈羅塞蒂、P.H.拉賓諾維茨發展瞭柳斯捷爾尼克-施尼雷爾曼的思想,提出瞭山路引理:設f是巴拿赫空間X上的一個滿足帕萊斯-斯梅爾條件的C1函數,又設有θ的一個開鄰域U和一點x0∉U,使得f(θ)=f(x0)=0,且
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參考書目
R.Bott,Morse Theory,Old and New,BAMS,1981.
W.Klingenberg,Lectures on Closed Geodesics,Springer Verlag,Berlin,1978.
J.Milnor,Morse Theory,Princeton Univ.Press,Princeton,1963.
M.Morse,The calculus of Variations in the large,American Math.Soc.Colloq.Pub.,New York,1934.