由不可約方程
(1)
確定的多值函數，式中
α
j(
z)(
j=0，1，…，
n)是
z的多項式。由(1)式和下列方程
消去
w得到的判別式
D（
z）是
z的非恒為零的多項式。若
z
0不是
D（
z）的零點，則
p(
z
0，
w)＝0恰有
n個判別的根
w
j（
j＝1，2，…，
n）。若再設
z
0不是
α
n（
z）之零點，則由隱函數定理知，存在
n個判別的正則函數元素（
w
j(
z)，
B(
z
0)）（
j＝1，2，…，
n）屬於方程（1），即在以
z
0為心的某個圓
B(
z
0)內滿足
P（
z，
w
j(
z)）＝0，且
w
j（
z
0）＝
w
j(
j＝1，2，…，
n)。若
z
0是
D(
z)之零點，則
P（
z
0，
w）＝0 有重根
w
k，設其重級為
λ
k，且
此時在
z
0點穿洞的小圓Ḃ(
z
0)上
n個函數元素能分為
l個循環
(
j
k=1，2，…，
λ
k，
k=1，2，…，
l)並且當沿著在Ḃ(
z
0)中的曲線圍繞
z
0開拓時，同一循環中的函數元素互相置換。設由
w
1(
z)在
Ḃ(
z
0)中開拓所得之多值函數為
w
λ(
z)，則它可表為某個圓
B(
z
0)內收斂的分數冪級數
此時（
w
λ(
z)，
B(
z
0)），是屬於方程(1) 的代數函數元素。當
z
0=
時，以ζ=1/
z代之，若
w
1=
，則以
u=1/
w代之。再者由屬於不可約方程(1)的任一函數元素(正則的或代數的)出發可以用解析開拓方法來聯接整個函數，即屬於方程(1)的函數元素經解析開拓所得的函數元素仍屬於方程(1)，並且任兩個屬於方程(1)的函數元素能經解析開拓互相得到。因此代數函數是在擴充的復平面ĉ＝C ∪{
}上僅具有有限多個代數分支點和極點的完全解析函數。反之，具有上述特征的完全解析函數，且對於一固定點
z
0，僅具有有限個以
z
0為中心的函數元素者，滿足一不可約代數方程，且除去一個非零的常數因子外，此方程是惟一的。
應用 B.黎曼的方法可以構造一個新的曲面以代替z平面，使得在此曲面上代數函數為通常的單值函數，這個曲面即是黎曼曲面。相應於代數函數的黎曼曲面是緊的，曲面的虧格即定義為代數函數的虧格。例如，超橢圓曲線w2=P(z)的虧格
其中
P(
z)是
z的
m次多項式，[
α]表示
α的整數部分。
由方程(1)聯系著的z和w的有理函數R(z，w)之積分稱為阿貝爾積分。
對於這個積分有一系列標準形式，使得任一這類型的積分能通過適當的變數變換變為其中一個標準形式。這個積分是一多值函數，其多值性不僅產生於
R的留數和
w(
z)的多值性，而且還依賴於相應的黎曼曲面的拓撲性質。
關於阿貝爾積分之研究還導致代數函數的單值化的可能性問題。代數函數單值化問題是對於方程(1)所確定的z和w的多值對應關系z↔w，去尋找一個參數表示(z(t)，w(t))，其中z(t)和w(t)是定義於ĉ 的子域T上的t的單值函數。代數函數的單值化問題引起瞭一般單值化理論之發展。19世紀下半葉和20世紀的最初10年，世界上許多傑出的數學傢，如黎曼、F.克萊因、H.龐加萊、H.A.施瓦茲、B.H.紐曼和P.克貝等人都作出瞭重要的貢獻，最後於1908年由克貝和龐加萊同時解決。代數函數這個特殊情形的解決，曾引起拓撲學與共形映射理論之結合。對於代數函數單值化的基本結論是：虧格p=0的代數函數由有理函數單值化，即(z(t)，w(t))是兩個t的有理函數；虧格p=1時，由雙周期橢圓函數單值化；虧格p≥2時，由單位圓內對某個富克斯群自守的亞純函數單值化。
代數函數論還沿著算術的方向和幾何的方向發展，後者是用幾何方法研究代數曲線，並發展為代數幾何。
參考書目
P.Appell et E.Goursat，Théorie des Fonctions Algébrique de Leurs Intégralés，T.1～2，Gauthier-Villars，Paris，1929～1930.
R.Nevanlinna，Uniformisierung，Springer-Verlag，Berlin，1953.