一個域上的n(n≥1)元有理函數域的有限擴張。設K是一個在任意域F上經添加有限個元素x1，…，xn，xn+1，…，xs所生成的域，其中x1，…，xn(n≥1)在F上是代數獨立的；xn+1，…，xs關於F(x1，…，xn)是代數元，則稱K是以F為系數域的n元代數函數域。當n=1時，簡稱K為F上的代數函數域，記作K/F。K中所有關於F的代數元成一個子域F′，稱之為K/F的常量域。為瞭方便起見，以下設F本身就是K/F的常量域。

　　除子　在代數函數域K/F中，K的一個不平凡賦值，若在F上是平凡的，則稱為K/F的一個賦值，由K/F的離散賦值所成的等價類，稱之為K/F的素除子。這種素除子有無限多個。作形式冪積

其中 α p是整數，而且隻有有限多個不為零； p取遍 K/ F的所有素除子。這種 α稱為 K/ F的除子。如果每個 α p都不是負整數，那麼 α就稱為整除子。對於兩個除子 和 規定： α= b，當且僅當對每個 p都有 α p= b p；規定乘法運算為 ；除子 記為 α -1。若 α -1 b是一整除子，則稱 α除盡 b，記作 α｜ b。

　　虧格　由於素除子p的剩餘類域是F上的一個有限擴張，其擴張次數稱為素除子p的次數，記為d(p)。規定除子

的次數為 於是有 d( α -1)=- d( α)以及 d( α b)= d( α)+ d( b)。

　　對於K中不為零的α，規范化的指數賦值vp（α）=mp是整數，且隻有有限多個p有mp≠0，從而可作出除子

設 α是任一除子。子集 L( α)=｛ α∈ K｜ α=0，或者 α|( α)｝形成 F上的一個有限維空間，它的維數，記為 l( α)。當 α遍取 K/ F中所有的除子時，整數集{ l( α)+ d( α)}是有下界的。令 由此確定的非負整數 g是代數函數域的一個重要不變量，稱為 K/ F的虧格。雖然是B.黎曼首先明確提出並命名它為虧格的，但是早在N.H.阿貝爾的著作中就已經出現過。

　　微分和黎曼-羅赫定理　作K關於離散賦值vp的完備化(completion)Kp，於是Kp的元素都可以表作某個π∈K的形式冪級數。設F是個完全域(perfect field)。則可選擇適當的t∈K，使得K成為F(t)的可分代數擴張。另一方面，t作為Kp的元素，有

規定

並以 d t記向量 其中每個分量是對不同的素除子 p來取的，因此 d t是個無限向量。對於 K中每個 u，規定 並稱之為 K的微分。當 u≠0時，總有 於是 是整數，且隻有有限多個不為零，由此定出一個除子 若對某個除子 b有 b│( u d t)，則稱 u d t被 b除盡。 K中所有被 b除盡的微分（包括0），組成 F上一個有限維空間，它與 t、 π的選擇無關，它的維數記作δ( b)。

　　黎曼-羅赫定理　對於代數函數域K/F的任何一個除子α，恒有等式l(α)=d(α-1)-g+1+δ(α-1)成立。

　　虧格為0和1的代數函數域　F上的有理函數域F(x)，它的虧格為0。反之，若K/F的虧格是0，則除瞭有理函數域外，K隻能是F上圓錐曲線的函數域，即K=F(x，y)，其中x與y滿足F上圓錐曲線的方程

　　虧格為1的代數函數域稱為橢圓域。特別在F為復數域C時，以復數α、b（α/b不是實數）為周期的橢圓函數組成一個域K，作為C上的代數函數域而論，它的虧格等於1。

　　在歷史上曾企圖把形如

的積分用有限的形式表出，於是引起對代數函數域的研究，這裡 φ( x， y)是含 x、 y的有理式； y與 x滿足一個整關系式 f( x， y)＝0。代數函數的理論，歷來就有幾種不同的描述方法，其中之一屬於“算術-代數”這一方向，即所謂代數函數域。它始於19世紀80年代R.戴德金和H.韋伯的工作。自20世紀以來，隨著抽象代數學的發展，戴德金和韋伯的理論，先後經E.諾特、H.哈塞、F.K.施密特和 A.韋伊以及其他學者的逐步簡化和推廣，對域F的限制得以逐步解除，使這一理論的許多內容包括黎曼-羅赫定理，可以在 F為任意域的情況下來建立。

　　

參考書目

　C.Chevalley，Introduction to the Theory of Algebraic functions of one variable，Amer.Math.Soc.，New York，1951.

　E.Artin，Algebraic Numbers and Algebraic Functions，Grodon and Breach，New York，1967.