關於多項式根的定理，即一個次數不小於1的複係數多項式f(x)在複數域內有一根。由此推出，一個n(≥1)次複係數多項式f(x)在複數域內恰有n個根(重根按重數計算)。這條定理形式上是代數的，但是它的證明卻離不開複數域的解析析性質。C.F.高斯於1799年首先給出這個定理的一個證明。
20世紀以前，代數研究的對象，如矩陣、二次型和各種超復數系都是建立在實數域或復數域之上的，當時代數基本定理起著核心的作用。20世紀以來，隨著代數學的進一步發展，抽象代數結構，如群、環、模、域相繼出現，於是代數基本定理逐漸失去瞭它的原有的地位。
代替代數基本定理的是根的存在定理：設F是任一域。f（x）是多項式環F[x]中任一個不可約多項式，則存在F的一個擴域K，使得f（x）在K內有一根。由此得到分裂域的存在定理：對於任一域F和任一n（n≥1）次多項式f(x)∈F[x]，則存在F的一個代數擴域K使得f(x)在K內完全分解f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αn)，而且K可由添加α1，α2，…，αn到F上而得到。更進一步，最後可得到F上代數閉包的存在定理：F上存在一個代數擴張Ω使得Ω[x]內每個次數不小於1的多項式在Ω內完全分解。Ω稱為F上的代數閉包。而且F上任何兩個代數閉包是F同構的，因而在同構意義下Ω由F惟一決定。Ω本身是一個代數閉域。復數域就是一個代數閉域。現在Ω正起著復數域在歷史上所起過的作用。
參考書目
范·德·瓦爾登著，丁石孫、曾肯成、郝炳新等譯：《代數學》，第1冊，科學出版社，北京，1963。(B.L.vander Waerden，Algebra，Vol.1，Springer-Verlag，Berlin，1955.)