非線性運算元

　　又稱非線性映射，不滿足線性條件的運算元。泛函分析的研究物件主要是線性運算元及其特殊情況線性泛函。但是，自然界和工程技術中出現的大量問題都是非線性的。數學物理中的一些線性方程其實都是在一定條件下的近似。為研究這些非線性問題，涉及到的運算元(映射)將不能隻局限於線性運算元。人們從兩種不同的途徑研究非線性問題：①針對具體問題，考察具體非線性運算元的特徵，解釋非線性現象。②從一般的運算元概念出發，添加適當的分析、拓撲或代數性質導出一些一般性的結論。

　　代數、幾何、拓撲中各種非線性映射是形形色色的，分析學中經常遇到的非線性算子則大抵由乘法、函數的復合以及各種線性算子組合而成。常見的非線性積分算子有：烏雷松算子

其中 K( x， y， t)是0≤ x， y≤1， t∈ R ¹上的連續函數；沃爾泰拉算子， ；哈默斯坦算子 · ，其中 K是[0，1]×[0，1]上某 p次可積函數， f( y， t)在[0，1]× R ¹上可測，對固定的 y關於 t連續。常見的微分算子有：KdV算子 ，極小曲面算子 ，蒙日－安培算子

等。

　　許多非線性算子出現於非線性方程之中，從而有關非線性算子的理論就圍繞著非線性方程的求解的研究而展開。設T是從B空間（巴拿赫空間）X到B空間Y的算子，設y∈Y，求解x∈X，滿足：

　　　(1)

有時特別地考察 y= θ（ θ是 Y中的零元）的情形，稱解 x為 T的零點。顯然，若 T是一個滿射，則(1)總有解，於是人們討論在什麼條件下 T具有滿射性.又若 X= Y，方程(1)的求解問題有時化歸尋求算子 T ₁ x= Tx+ x- y的不動點

　　　(2)

的問題。這樣提問題有助於利用幾何直觀。

　　和線性方程的解集總是仿射集(線性子空間的平移)不同，方程(1)的解集構造很復雜，它可能對某些y是空集，而對另一些y則非空。其個數可能隻有一個，可能有有窮多個，也可能有無窮多個；可能是孤立的，可能有聚點，也可能是連續統。

　　以X為定義域，取值為Y（映X入Y中）的子集的映射，稱為集值映射。相應於(1)的求解問題寫成下列從屬關系：

　　　(3)

　　算子的微分學　從分析上研究一般算子的途徑是把數學分析中研究函數的微積分學推廣到算子。設X、Y都是B空間，U是X中的一個開集，f：U→Y，稱f在x₀∈U連續，是指

相應於方向導數概念的是加托導數，簡作 G導數。稱 f在 x ₀處 G可微，是指對任意的 h∈ X，存在 d f( x ₀， h∈ Y，使得

，

當 t→0， x ₀+ th∈ U。稱d f( x ₀， h)為 f在 x ₀處沿方向 h的 G導數。相應於全微分概念的是弗雷歇導數，簡作 F導數。稱 f在 x ₀處 F可微，是指存在 A∈ L( X， Y)，( L( X， Y)表示 X到 Y的線性有界算子空間) X→ Y是線性有界算子空間，使得對任意的 h∈ X，當 x ₀+ h∈ U時，有

當 h→ θ。稱 A為 f在 x ₀處的 F導數，並且記作 f′( x ₀)。

　　G可微與F可微之間的關系如下：①若f：U→Y在x₀∈U處F可微，則f在x₀必G可微，並且

，任意的 h∈ X。②設 f： U→ Y在 U內 G可微，且d f( x， h)關於 h線性，即d f( x，·∈ L( X， Y)，任意的 x∈ U。如果d f( x，·)還是關於 x連續的，那麼 f在 x∈ U是 F可微的。

　　算子的微分學與函數的微分學很相似。

　　① 鎖鏈法則　設X、Y、Z、是B空間，U⊂X，V⊂Y是開集。若f：U→YF可微；g：V→ZF可微；且f(U)⊂V，則g。f在U內F可微，並且

　　② 中值不等式　設f：U→YF可微，又設線段

則 。

　　③ 反函數定理　設f：U→Y在U上有連續的F導數f′(x)，又若

式中 x ₀∈ U，則 f是 x ₀的一個鄰域到 f( x ₀)的一個鄰域的微分同胚，並且

　　④ 隱函數定理　設X、Y、Z是B空間，O是X×Y中的一個開集，(x₀，y₀∈O，又設f：O→Z連續，滿足：

， f在 O上關於 y的 F導數 f′( x， y)是連續的，並且 ，則必存在 x ₀的一個鄰域 U和 y ₀的一個鄰域 V，以及惟一的連續映射 φ： U→ V，滿足

　　隱函數定理與反函數定理對於求解算子方程(1)有十分重要的意義。它們表明：對於具有連續導數的一般非線性算子，隻要在一點上，它的線性化方程是可解的（在一定意義下），那麼它在這點附近便是可解的。許多非線性方程的局部可解性理論都基於這一基本事實。

　　為瞭近似求解方程，f(x)=θ，數學分析裡的牛頓求根法，也被推廣。在準確解x^*∈U的鄰近任取x₀∈U，構作迭代序列：

n=0，1，2，…，可以證明： x _n→ x ^*。

　　然而，反函數定理有時不夠用，其中的條件

不滿足。這種情形在一些微分方程理論中出現，例如，線性算子 f′( x ₀) ^-1不能保持值域中的函數足夠光滑。為此，J.K.莫澤修改瞭牛頓求根法的迭代格式，並用它來推廣反函數定理。由此發展起來的一套技巧在好幾個重要的問題中非常有效。例如小除數問題、黎曼流形的嵌入問題等，被稱之為納什－莫澤技巧。

　　反函數定理給出瞭f成為局部同胚的條件。為瞭得到整體性的同胚，僅用微分學是不夠的，借助於緊性概念以及拓撲學中的同倫概念可以得到整體的反函數定理：為瞭使連續映射f是一個同胚，必須且僅須它是局部同胚，並有f是固有的。所謂算子f是固有的，指緊集的原像是緊集。

　　Y=R¹或C¹的映射稱為泛函，設φ：U→R¹，x₀∈U稱為它的一個局部極小(或極大)點，如果φ(x)≥φ(x₀)（或φ(x)≤φ(x₀)對一切x∈V，其中V是x₀的某個鄰域。費馬原理被自然地推廣：設φ在x₀∈U達到局部極值，且φ在x₀處G可微，則dφ(x₀，h)=θ，對任意的h∈X。在變分學中，它對應著泛函極值的必要條件即歐拉方程。

　　一般地，稱φ′(x₀)=θ的點x₀為泛函φ的臨界點。一個算子T：X→X^*（X^*表示X的共軛空間），稱為位算子，如果存在φ：X→R¹，使得Tx=φ′(x)。因此，對於位算子，求解問題(1)便化歸求泛函φ的臨界點（見變分法、大范圍變分法）。

　　算子高階導數的概念要求引入多線性算子，實際上，高階F導數還是對稱的多線性算子。帶餘項的泰勒公式在形式上與函數的泰勒公式是一樣的。

　　積分學也被推廣到一般算子。黎曼積分的定義與普通函數的積分定義一樣，而勒貝格積分的推廣則分強、弱兩種，前者稱為博赫納積分，後者稱為佩蒂斯積分（見向量值積分）。

　　不動點及可解性　下面是幾類重要的不動點定理。

　　壓縮型算子　一個最簡單、熟知、應用最廣泛的不動點定理是壓縮映射定理。在一個度量空間(X，d)上，T映X至自身，稱其為壓縮的，如果d(Tx，Ty)≤αd(x，y)對任意的x，y∈X，式中0＜α＜1。每個壓縮算子在X中必有唯一的不動點。這個不動點可以從任意點x₀出發，通過簡單迭代法求出。令

， n=1，2，…，則 X _n收斂到不動點。條件 α＜1一般不能去掉。在定義中若 α=1，則稱 T為非擴張算子。實直線上的一個平移顯然是非擴張的，但沒有不動點。然而對於一致凸的 B空間的一個閉、凸、有界子集 C，若 T： C→ C是非擴張的，則 T在 C上必有不動點。對於壓縮算子的研究導致下列逆問題：若 T： X→ X，則在什麼條件下能在 X中引入可度量化的拓撲，使得 T是一個壓縮算子。答案是：每個 T ⁿ， n=1，2，…，在 X中都隻有惟一的不動點。

　　單調算子　單調算子的概念起源於可微凸泛函的導數。設φ是在B空間X上定義的這種函數，則〈φ′(x)-φ′(y)，x－y〉≥0，對任意的x，y∈X，其中＜，>表示X^*與X之間的對偶。直線上的可微凸函數的導函數是單調不減的，於是就把滿足下面這些條件的算子T：X→X^*，

稱為單調算子，如果α＞0則稱為強單調算子。自反B空間上弱線段連續的強單調算子是X→X^*的滿射(所謂弱線段連續，指對任意的x，y∈X，T(x+ty)→T(x)當t→0)。這個滿射性定理是G.J.明蒂、F.E.佈勞德給出的，它在非線性算子半群理論、非線性發展方程以及一類非線性橢圓型方程的存在性理論中經常用到。

　　緊算子　在從有窮維到無窮維空間的過渡中，算子的緊性概念起重要的作用。所謂T是緊算子，是指它連續，並映有界閉集入緊集。利用緊性，J.P.紹德爾把佈勞威爾不動點定理推廣到賦范線性空間：任意一個映非空、有界、閉、凸集C於自身的緊算子至少在C上有一個不動點。這個定理是一個非常基本的不動點定理。尤其在微分方程理論中，它是證明存在性的一個重要依據。

　　紹德爾不動點定理的另一種形式是把算子的緊性減弱為連續性，而集合C則加強要求是緊的。從幾何上看，這種形式的不動點的存在問題可以化歸更一般的一族集合具有非空交的問題：對任意x∈C，令G(x)={y∈C｜‖y－Ty‖≤‖x－Ty‖}。顯然，若有x₀∈∩{G(x)｜x∈C}，則x₀是T的不動點。樊畿在一般拓撲線性空間的子集A上考察到這空間的集值映射F。他證明：設F滿足對任意的有窮子集

，又設 F( x)是閉子集，並且其中至少有一個是緊的，則∩{ F( x)｜ x∈ A}≠ø。從這定理導出的一系列不動點定理和相交性定理在 對策論與數理經濟學中占據重要的位置。

　　有窮維空間之間的連續映射的拓撲度常被用來估計不動點的個數，它也是證明各種不動點定理的有力工具。J.勒雷、紹德爾將這一概念推廣到B空間上的恒同算子的緊擾動T=Id－K其中K是緊算子。對於有界開集Ω，當p∉T(дΩ)時，記deg_LS(T，Ω，p)為對應的勒雷－紹德爾度，它具有下列基本性質。①同倫不變性：設K_t在Ω×[0，1]上緊，T_t=Id-K_t，當p∉T_t(дΩ)對任意的t∈[0，1]時，則deg_LS(T_t，Ω，p)=常數。②平移不變性：deg_LS(T，Ω，p)=deg_LS(T-p，Ω，θ)。③區域可加性：設開集Ω₁，Ω₂⊂Ω滿足：

且 ，則 ④規范性：

　　涉及到緊性的勒雷－紹德爾度以及由其導出的不動點定理可以推廣到一些非緊算子類。由K.庫拉托夫斯基的非緊性度量概念規定的一些算子類，例如，α集壓縮算子，它包含緊算子為特殊情形，就屬這種非緊算子類。此外，對非線性弗雷德霍姆算子也能定義拓撲度，使之保持許多重要性質。後者在無窮維流形的研究中經常要用到。

　　在另一個方向上，勒雷-紹德爾度和有關的不動點定理還被推廣到集值映射F，其中F(x)是凸集。

　　半序結構　在關序空間(P，≤)上，一個算子T：P→P稱為是保序的，如果x≤y蘊含瞭Tx≤Ty對任意的x，y∈P。對保序算子也有許多不動點定理，類似於壓縮映射定理，在半序結構中有如下結論：若存在b∈P使得b≤Tb，且P的每個全序子集都有上確界，則T的不動點集非空，且有極大元。這種類型的不動點定理在代數學、自動機理論以及計算方法中很有用。

　　即使在完備度量空間(X，d)上，本來沒有半序結構，但可借助於一個實值函數φ來規定半序。下列不動點定理甚至對算子T沒有連續要求。設T：X→X是任一映射，滿足：d(x，Tx)≤φ(x)-φ(Tx)，對任意x∈X，式中φ是下半連續的、有下界的實值函數，則T至少有一個不動點。

　　非線性特征值問題　求解帶參數λ的非線性算子方程

　　　　　(4)

的非零解問題稱為非線性特征值問題。這裡當然是假定瞭 T( θ， λ)≡ θ。對應的 λ稱為非線性特征值，而解 x≠ θ則稱為特征元。

　　線性算子方程的特征集合是線性子空間，但一般的非線性算子方程的非零解集

={( x， λ)| T( x， λ)= θ， x≠ θ}的構造卻非常復雜。

　　先在局部范圍考察集合

。因為( θ， λ)都是(4)的解，所以我們把( θ， λ ₀)稱為方程(4)的分歧點，如果在它的任意一個鄰域內都有(4)的非零解。按隱函數定理，可知隻要在 λ= λ ₀處的線性化算子 T _x( θ， λ ₀)是非奇異的，並有有界逆，就能斷定在( θ， λ ₀)的一個鄰域內(4)沒有非零解，即( θ， λ ₀)不是分歧點。但即使 T _x( θ， λ ₀)奇異，( θ， λ ₀)可以是分歧點，也可以不是分歧點。即使是分歧點，在這點附近的解集構造也可能是各種各樣的：可以是一列以( θ， λ ₀)為聚點的點集，可以是一條連續曲線，也可以是若幹條不同的曲線或曲面，如圖 （縱坐標表示‖ x‖）所示。

　　當T(·，λ₀)是弗雷德霍姆算子時，

在( θ， λ ₀)點附近的行為可以通過一種約化手續化歸有窮維方程的研究。至於 的整體行為知道得不多，常用拓撲方法去討論。

　　希爾伯特空間上緊、位算子的特征值問題可以仿照線性緊、自伴算子的譜理論，通過泛函的極值來研究。當A是線性緊自伴算子時，二次函數

在單位球面上的臨界點就是 A的特征元，而特征值是作為拉格朗日乘子出現的。類比於此，當 A是某個弱連續泛函 φ的導算子時，又若 A x≠ θ對任意的 x≠ θ，則存在с≠ φ( θ)，使得流形 ，模平方函數‖ x‖ ²在 M ₀上達到極小值點。這個極小值點就是 A的特征元，而對應的拉格朗日乘子則是非線性特征值的倒數。 φ還是偶泛函時，利用極小極大原理可以獲得更多的臨界值點。

　　

參考書目

　關肇直編：《泛函分析講義》，高等教育出版社，北京，1958。

　M.S.Berger，Nonlinearity and Functional Analysis，Academic Press，New York，1977.

　J.Dugundji and A.Granas，Fixed Point Theory，PolishSci.Pub.，Warszawa，1982.

　N.G.Lloyd，Degree Theory，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1978.

　L.Nirenberg，Topics in Nonlinear Functional Analysis(lecture Notes)，Courant Institute of Mathematical Science，New York，1974.