又稱對應於模q的特徵ⅹ(n)的狄利克雷L函數，即函數
，其中
q≥1，ⅹ(
n)是模
q的一個特征，復變數
s=
σ+
i
t，
σ＞1。它在
q=1時就是黎曼ζ函數。這類函數最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈問題時引進的。它的性質和作用，都與黎曼ζ函數類似，在許多數論問題中有重要應用。它的主要性質有：
① 當σ＞1時，
，式中
表示對全體素數求積。因而
L(
s，ⅹ)≠0 (
σ＞1)。
② 當ⅹ0是模q的主特征時，
於是，通過
ζ(
s)就把
L(
s，ⅹ
0)解析開拓到全平面。
③ 當ⅹ是模q的非主特征時，一定存在惟一的一個模q*，使當σ＞1時，有
④ 當ⅹ是模q的原特征時，L(s，ⅹ)可解析開拓為整函數，且滿足函數方程
，
式中
τ(ⅹ)為僅與ⅹ有關的常數，且滿足
x表ⅹ的共軛特征，即
⑤ 對任意的模q的特征ⅹ，有L(1，ⅹ)≠0。
⑥設ⅹ是模q的原特征，那麼s=-(2n+α(ⅹ))(n=0，1，2，…)是L(s，ⅹ)的一級零點，稱為“無聊零點”；L(s，ⅹ)可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位於帶形區域0≤σ≤1中；L(s，ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。
⑦ 設T>0，以N(T，ⅹ)表L(s，ⅹ)在區域0≤σ≤1，｜t｜≤T中的零點個數。因此，當ⅹ 是模q的原特征和T≥2時，有
⑧ 設T＞0，
，以
N(
α，
T，ⅹ)表
L(
s，ⅹ)在區域
α≤
σ≤1，｜
t｜≤
T中的零點個數。再設
，其中Σ表對模
q的所有特征求和。因此，當
T≥2時，有
。此結果已被改進和推廣，通常稱之為
L函數的零點密度定理。
⑨ 在直線σ=1上，L(s，ⅹ)≠0。由此，對任意固定的q，可推出算術級數中的素數定理。
⑩ 存在絕對正常數X1，使得對任意固定的模q，在所有的函數L(s，ⅹ)(ⅹ modq)中，僅可能除去一個例外函數外，均在區域
內無零點。如果這樣的例外函數
L(
s，
x)存在，那麼
x一定是模
q的實的非主特征，且
L(
s，
x) 在上述區域內隻有一個一級實零點戓。這一性質是狄利克雷L函數與黎曼ζ函數的一個主要差別。研究對應於實特征的
L函數的實零點，是
L函數論的最重要問題之一。
⑪ A.佩奇於1935年證明瞭：存在絕對正常數X2，使得對任意的實原特征ⅹ modq，q≥3，必有L(1，ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在絕對正常數X3，使得對任意的實特征 ⅹ modq，q≥3，當
時，
L(
σ，ⅹ)≠0。
⑫ C.L.西格爾於1936年證明瞭：對任給的正數ε，存在正常數c3(ε)，使得對任意的實原特征ⅹmodq，q≥3，必有
。由此推出，對任給正數ε，必有正常數
c
4(ε)，使得對任意的實特征 ⅹ mod
q，
q≥3，當
時，
L(
σ，ⅹ)≠0。
C.L.西格爾的結果雖然優於A.佩奇的結果，但是常數X3(ε)和X4(ε)至今沒有辦法計算出來。
從性質⑩、⑪、⑫可推得有餘項估計的算術級數中的素數定理（見素數分佈）。類似於黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設，即猜測所有的狄利克雷L函數的非無聊零點都位於直線σ=1/2上，通常簡記作GRH。大量的數值計算以及理論上的探討都支持這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數論結果，雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明瞭），但是卻指出瞭研究L函數零點的重要意義和方向。
參考書目
K.Prachar，Primzahlverteilung，Springer-Verlag，Berlin，1957.
H.Davenport，Multiplicative Number Theory，2nd ed.，Springer-Verlag，Berlin，1980.