複變函數中一類重要的解析函數。在複平面區域D上單值的解析函數f(z)，若對D中任意的不同的兩點z1、z2有>f(z1)≠f(z2)，就稱作是單葉的。由著名的黎曼映射定理知道，任意兩個至少有兩個邊界點的單連通區域D1及D2，一定可以相互共形映射，即存在解析的單葉函數f，將D1一一地映射為D2，所以對單葉函數的研究在復變函數論中顯得很重要。由於單葉映射也是最簡單的映射，所以對它的討論也是復變函數論中最基本的內容之一。
若解析函數f(z)在D中單葉，則f′(z)≠0在D中成立；反之，f′(z)≠0在D中成立，不一定能保證f(z)在D中單葉，隻能說在一點的一個鄰域內單葉。
最早對單葉函數有重要貢獻的是P.克貝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.費伯(1916)等。例如，比伯巴赫證明瞭重要的偏差定理：若f(z)在｜z｜＜1中正則單葉，且f(0)＝0，f′(0)＝1，則
；等號限於克貝函數
時成立。在證明這些不等式時，比伯巴赫討論瞭單葉的半純函數
，給出瞭面積原理：
g(
)將│
│>1映射的區域的餘集的面積是非負的，這可寫成
。由此他證明：若
f(
z)＝
z＋
在｜
z｜＜1中解析單葉，則|
α
2|≤2。由此可導出克貝掩蓋定理：｜
z｜＜1經
w=
f(
z)映射後的像一定掩蓋｜
w｜＜1/4的圓；當且僅當
f(
z)為克貝函數時，正好掩蓋｜
w｜＜1/4的圓。再進一步的結果就是偏差定理。對於單葉函數，有很多有趣的幾何性質，如 Γ.М.戈盧津證明瞭如下回轉定理：若
在｜
z｜＜1中正則單葉，則對｜
z｜＝
r時，有|arg
f
′(
z)|≤4si
n
-1
r，當
；
，當
。又如戈盧津證明瞭
n-截線定理：若f(
z)=
z+
在
z＜1中正則單葉，
w=
f(
z)將｜
z｜＜1映為
R，則一定存在從
w=0出發在
R內的
n條射線，兩條相鄰射線的夾角為
2
π/
n，使得這
n條射線的總長至少為
n。1916年，比伯巴赫提出瞭一個猜想：若
在|
z|＜1中正則單葉，則|
α
n|≤
n對所有
n都成立，等號成立限於克貝函數。這個猜想稱為比伯巴赫猜想，它曾經是單葉函數的研究的中心問題。1925年，J.E.李特爾伍德證明瞭|α
n|＜
e
n，此後迭經改進，其中重要的一步是1965年И.М.米林應用他創造的方法證明瞭|
α
n|＜1.2
43
n。另外，1972年C.H.菲茨傑拉爾德建立瞭重要的不等式，證明瞭
。1923年K.勒夫納創造瞭參數表示法，證明瞭|
α
3|≤3。1955年，P.R.加拉貝迪安與M.M.席費爾應用變分法證明瞭|
α
4|≤4。1960年Z.恰爾任斯基和席費爾應用格倫斯基不等式簡化瞭證明。沿用這個方法，1968年，R.N.佩德森和小沢滿各自證明瞭|
α
6|≤6。1972年，佩德森和席費爾證明瞭|
α
5|≤5。另外可以證明，對於一些特殊函數類，比伯巴赫猜想成立，如星象函數、近似凸函數、實系數函數等。1955年W.K.海曼證明瞭
，等號成立限於克貝函數。即對於一個固定的，在｜
z｜＜1中解析單葉的函數，當
n充分大時，比伯巴赫猜想成立。
由比伯巴赫猜想產生瞭一系列相關的猜想，如米林猜想，羅伯森猜想，希爾斯莫爾猜想，羅戈辛斯基猜想，李特爾伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想；若f在D中正則單葉且f(0)=0，f′(0)=1，
，則
，對所有
n=1，2，…都成立。可以證明米林猜想導出比伯巴赫猜想。1984年L.de佈朗基結合勒夫納方法及米林方法證明瞭米林猜想，從而證明瞭比伯巴赫猜想。歷時68年終於證明瞭這個著名的猜想。
參考書目
W.K.Hayman，Multivalent Functions，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1958.
J.A.enkins，Univalent Functions and ConforMal Map-ping，Springer-Verlag，Berlin，1958.
L.de Branges，Acta MatheMatica，154，pp.137～152，1985.