代數學

　　數學中一個重要的、基礎的分支，由於人類生活、生產、技術、科學和數學本身的需要而發生和發展，歷史悠久。它在研究物件、方法和中心問題上經歷瞭重大的變化。初等代數學（或稱古典代數學）是更古老的算術的推廣和發展，抽象代數學（曾稱近世代數學）則是在初等代數學的基礎上產生、發展而於20世紀形成的。

　　初等代數學，研究數位和文字的代數運算(加法、減法、乘法、除法、乘方、開方)的理論和方法；更確切點說，研究實數或複數和以它們為係數的多項式式的代數運算的理論和方法。它的研究方法是高度計算性的。它的中心問題是實或復系數的多項式方程(或稱代數方程)和方程組的解（包括解的公式和數值解）的求法及其分佈的研究，因此它也可簡稱方程論。它的演變歷史久遠，中國和其他文明古國都有貢獻，而在歐洲則於16世紀（文藝復興後期）、17世紀系統地建立起這門學科，並繼續發展到19世紀的前半葉。隨著電子計算機的廣泛而深入的使用，有些內容的新發展已歸入計算數學的范圍，形成瞭“數值代數”。（見算術、多項式、行列式、線性方程組、矩陣、代數基本定理）

　　抽象代數學是在初等代數學的基礎上，通過數系的概念的進一步推廣或者可以實施代數運算的對象的范圍的進一步擴大，逐漸發展而形成的；它自18、19世紀之交萌芽、不斷成長而於20世紀20年代建立起來。它研究的對象是非特定的任意元素集合和定義在這些元素之間的、滿足若幹條件或公理的代數運算，也就是說，它以各種代數結構（或稱系統）的性質的研究為中心問題。它的研究方法主要是公理化的。自20世紀40年代中期起，抽象代數學的研究對象又有一些新的拓廣。詳細點講，考慮任意一些元素α，b，с，…組成的一個非空集合S和一個或幾個運算，例如記作。，…等。假設S中任意兩個元素α，b(也可相同)依著次序用運算。聯結起來的結果α。b仍然是S中一個完全確定的元素X(封閉性)，並且假設對S中元素實施的運算單獨地或相聯系地遵守著通常四則或有理運算所適合的一些法則或公理（如加法或乘法有結合律，有交換律，有0或1，有負或逆，有加法分配律等），則集合S對於運算。，…成為一個代數結構。由各種代數結構的公理出發研究它們的性質，就是所謂抽象代數學。

　　至今，已有群、環、域、模、代數、格以及泛代數、同調代數、范疇等重要代數結構。

　　群、環、域、模、代數、格簡介　群G是隻具有一個運算G的代數結構，除假設G中任二元素α，b經過運算。結合所得結果α。b仍是G中元素（封閉性）外，還假設三條公理：

　　G1結合律成立。對g中任三元素α，b，с有(α。b)。с=α。(b。с)；

　　G2存在單位元素。g中有一個元素e，稱作g的單位元素，使得對於g中任意元素α，有α。e=e。α=α；

　　G3存在逆元素。對於g中任一元素α都有g中一元素α′，叫做α的逆元素，使得α。α′=α′。α=e。

　　通常就簡寫α。b為αb。

　　一般群中交換律不一定成立，若對G交換律成立，即對G中任二元素α，b都有αb=bα，則稱G為交換群或阿貝爾群，否則稱為非交換群。若G中元素的個數有限，則稱為有限群，否則稱為無限群。

　　例如，所有的整數、有理數、實數、復數的集合對於加法都是群。所有的非零的有理數、實數、復數的集合對於乘法也都是群。所有這些群都還是無限交換群。這些群（對於確定運算）的元素集合，有的包括在另一個群（對於同一運算）的元素集合裡，就叫做後者的子群。

　　把由n（任意正整數）個文字1，2，…，n到它們自己的一個排列α₁，α₂，…，α_n的變換叫做一個n元置換，記作

。對於任意兩個置換 α和 b定義對1，2，…， n依次實施 α、 b，即先用 α作用，再用 b作用的運算為 α、 b的乘法，並將所得的置換с稱為 α、 b之積。若有一些 n元置換的非空集合 G，若是 G中任二元集 α、 b之積仍在 G中（封閉性），則 G即為一置換群。註意，此時 G對乘法必有結合律， G中必有單位元素 ， G中元素 α必有逆無素 也在 G中。特別，所有 n!個 n元置換成一群，稱為 n個文字的對稱群 S _n。 S _n是有限(當 n≥3)非交換群。任一 n元置換群都是 S _n的子群。(見 置換群)

　　環R是具有兩個運算（加法＋和乘法·）的代數結構，如是之R中元素對加法＋是一個交換群，R中元素對乘法·有封閉性和結合律，並且對於R任三元素α，b，с都有雙邊加法分配律成立：

。

　　適合乘法交換律的環叫做交換環。例如，所有的整數、有理數、實數、復數的集合對於加法和乘法都是交換環。環R的元素的子集合R₁，如對R的兩個運算也成環，則R₁稱為R的子環。這裡的整數環是有理數環、實數環、復數環等的子環。

　　域F也是一個具有兩個運算加法(+)和乘法(·)的代數結構，它至少包含兩個不同的元素0和1，並且F對加法(+)是交換群，F除0外對乘法(·)也是交換群，且加法分配律成立，即對F中任三元素α、b、X都有

域是環的特例。若乘法交換律不成立，則稱為非交換域。它與域合稱體或除環。

　　例如，所有的有理數、實數、復數的集合對於加法和乘法都是域，通常記作Q，R，C。域F的元素的子集合F₁，如對F的兩個運算也成域，則F₁稱為F的子域，而F稱為F₁的擴域。所有

（ α、 b為有理數）、 α+ bi（ α、 b為有理數或實數）的集合也是域。這些都是 C 的子域，簡稱數域。

　　考慮僅有兩個元素0、1的集合F₂。定義F₂中的兩個二元運算＋及×如下：

則 F ₂對＋及×成為一域，並稱為一有限域。一般地講，對任一（正）素數 p，所有整數模 p的剩餘類對模 p的加法及乘法成一域 F _p，恰是有 p個元素的有限域。

　　考慮系數在一域F中的所有一元多項式

(其中 α ₀， α ₁，…， α _n皆在 F中，且 α ₀≠0，若 n＞0，而 x為不定元)的集合 F[ x]。對於多項式的加法和乘法， F[ x]組成一個交換環，稱為域 F上的多項式環。考慮所有這樣兩個多項式的有理分式(分母不為0)的集合，則得到一個域 F( x)，稱為域 F上的有理分式域。

　　假設非空元素集合S對加法＋是一個交換群，又設非空元素集合R對加法＋(通常使用同一符號)和乘法·是一個環。以α，β，…表示S的元素，α，b，…表示R的元素。假設α與α可結合為αα仍在S中（稱為數乘）且滿足以下條件或公理：α(α+β)＝αα+αβ，(α+b)α＝αα+bα，(αb)α=α(bα)，則S稱為一個左R模，也可定義右R模。

　　例如，設F為域。考慮所有的F中n元素組α＝(α₁，α₂，…，α_n)，α₁，α₂，…，α_n在F中，並稱為向量的集合Fⁿ。定義

　　

　　

， X在 F中，則 F ⁿ對加法及數乘組成一（左） F模，通常稱為 F上 n維向量空間或線性空間。

　　設A為一環，同時又為一交換環K上的左K模，並設環A與模A有同一的加法。若對A中任二元素α、b和K中任意元素k有k(αb)=(kα)b=α(kb)，則A稱為交換環K上的（線性結合）代數。若A為除環，則稱為可除代數。若A的乘法不適合結合律，則稱為非結合代數。代數舊稱超復數系。

　　例如，設F為域，考慮F上n階矩陣A＝（α_ij）的集合M_n(F)，α_ij(i，j=1，2，…，n)在F中。定義

，

，

，

с在 F中，則 M _n( F)為 F上（線性結合）代數，稱為矩陣代數，當 n＞1時非交換。

　　設L是一個非空集合，在L中定義兩種二元素的運算∪（求並）和∩（求交），適合下列公理：

則稱 L為一個格。

　　例如，考慮任意一集合S的一切子集合所組成的集合，記為P(S)，定義任二子集合的求並為∪，求交為∩，則P(S)為一格。

　　在各類代數結構的研究中，同類中兩個代數結構的同構及其推廣的同態的概念是基本的。由於各類代數結構所牽涉到的一個給定集合的元素、和元素之間的運算(對於模和代數的數乘，說法要作一些小的修改)都是一般的，主要考慮的是兩個元素與它們經過運算所得到的同一集合中的元素之間的關系，由此產生瞭同構和同態的概念。為瞭便於說明，首先考慮群，這時隻有一個運算，兩個元素間的運算符號略去不寫。設g和g′為兩個群，若有一個由G到G′的一一映射f，使（G中的）g→g′（在G′中）且對G中任意α、b使α′b′=(αb)′，則f稱為由G到G′的同構，而G稱為同構於G′，記為G≌G′。若隻假設f為一個由G到G′的一般的多一映射，則f稱為由G到G′的同態，而G稱為同態於G′，記為G～G′。考慮對G中給定α和H(G的子群)中所有元素h的集合｛αh｝和｛hα｝，稱為G對H的左陪集αH和右陪集Hα。特別，若對G中任意的α，αH=Hα，則H稱為G的一個正規子群，記為

。這時， G對 H的所有陪集 α H（= H α）依照 α H· bH= α bH的乘法組成群，稱為 G對 H的商群 G/ H，且 G～ G/ H。一般地，對任一代數結構的研究都可以包括這樣一些問題：同構、同態、子結構、特殊子結構、商結構以至結構的合成與分解、自同構群等。例如，通常考慮一種特殊的子環即理想：一個環 R的子環 M稱為 R中理想，若對 R中任意 r和 M中任意 m都有 r m和 m r仍在 M中。

　　發展簡史(包括泛代數、同調代數、范疇簡介)　在歐洲，Algebra一詞最初來源於9世紀阿拉伯數學傢和天文學傢花拉子米的重要著作的名稱。原義是還原(al-jabr)與相消(almuquabalah)的科學，簡稱為algebra。清初輸入中國時，譯為阿爾熱巴拉（梅瑴成，1761），後改譯為代數學（李善蘭，1835）。

　　中國古代在初等代數學方面，有光輝的成就。初等代數學中的正負數加減運算和求聯立一次方程組與正系數的二次方程的數值解是中國古代數學傢的發明創造，且早就見之於《九章算術》（成書不遲於公元1世紀）和魏晉劉徽的《九章算術》註(263)。求正系數的三次方程的數值解，在唐初王孝通《緝古算經》(626)中已經出現。中國古代代數學在11～13世紀宋、元間達到瞭發展的高峰。作為例子，可以提出：①1247年秦九韶在《數書九章》中創造瞭高次多項式方程的一般數值解法，這種方法在原則上和所謂的魯菲尼-霍納方法(1804，1819)是一致的。同時代的李冶相互獨立地在《測圓海鏡》(1248)和《益古演段》(1259)中，根據應用問題的條件列出方程，稱之為《天元術》，作出瞭重要貢獻。②1261年楊輝在《詳解九章算法纂類》中引用出自賈憲(約1050)的增乘開方法和二項式展開系數表，後者是世界上已知最早的這種表。③朱世傑1303年在《四元玉鑒》中，研究瞭始於宋沈括《夢溪筆談》（1086年或稍後）中的高階等差級數論和多元聯立方程組與消去法（所謂四元術）。中國古代在代數學方面的工作，與實際應用問題緊密聯系，著重數值計算，風格獨特。雖已用天、地、人、物表示未知數，但沒有發展為文字代數學。在漫長的一千多年的歲月裡，中國與印度、阿拉伯國傢、朝鮮、日本在數學（包括代數學）方面是有相互交流和影響的。

　　古代巴比倫、埃及、希臘、印度、阿拉伯等文明古國也對初等代數學的發展，作出瞭重要貢獻。例如希臘丟番圖的一次與二次不定方程的解法(250年左右)； 印度婆羅摩笈多（7世紀）和婆什迦羅第二（12世紀）的二次方程一般解，後者認識到負根的存在；阿拉伯的花拉子米的二次方程一般解法(允許無理數的存在)、奧馬·海亞姆（12世紀）的三次方程的圓錐曲線求解法等。

　　至於文字表示法的引進和發展，通常歸之於16和17世紀的法國數學傢F.韋達和R.笛卡兒。從這時起，代數學就成為各種數量(用文字來代表)以至多項式的計算的理論。16世紀初，意大利數學傢S.dal費羅、N.塔爾塔利亞、G.卡爾達諾、L.費拉裡等先後成功地得到瞭三次和四次多項式方程的解的一般公式，在18世紀進一步使用瞭“復數”。典型的著作是L.歐拉的《代數學引論》(1770)。

　　到瞭18世紀以至19世紀初，由於實際應用和科學工作（包括輔助計算數字表）及理論發展的需要(例如，C.F.高斯在成功地解決谷神星的軌道的工作中，就計算瞭一個8次多項式方程的根)。高次多項式方程的解法（即根的計算和分佈）的問題逐漸成為當時代數學的中心問題。很多數學傢一起創造出多項式方程論，如對實系數多項式的P.魯菲尼、W.G.霍納和I.牛頓(1669)求實根的近似值的方法和格雷夫(1837)、H.И.羅巴切夫斯基(1834) 求復根的近似值的方法，限制或確定正根或負根、實根的個數的笛卡兒符號法則(1637)和斯圖姆定理(1835)等結果。

　　18、19世紀之交，高斯對於復數及其運算的幾何表示有深入的討論，並證明瞭（事實上嚴格的證明一直到1920年才完成）代數基本定理，即任意一個復系數一元n次方程必定有一個復數根，從而也就恰有n個復數根(相同的根按重數計）。用現代的術語說，復數域是一個代數封閉域。這時人們為瞭求解多項式方程而擴大數的范圍的要求，就在一定程度上得到滿足瞭。

　　也就是在這個時期，一些著名的數學傢企圖對五次以上的方程求出用系數通過一系列有理運算和開某些方根而得的結果，或簡單說用根式表示根的公式，所作的大量努力，均徒勞無效。可是在J.-L.拉格朗日(1770)對二、三、四次方程的求根公式所作的分析中，也已孕育著正確解決這個問題所需的新概念──置換群和數域。繼魯菲尼(1813)之後，N.H.阿貝爾終於在1824～1826年間證明瞭五次以上的一般方程用根式求解的不可能性。他在工作中，實質上引進瞭在給定數域中不可約多項式的概念，即系數在域F中的一元多項式不能表示成兩個系數在F中的次數較低的多項式的乘積。1832年，E.伽羅瓦更對於高次方程是否可以用根式求解的問題給出徹底的解答。他引進瞭置換群的正規子群和數域的擴域以及群的同構等概念，並證明瞭由方程的根的某些置換所構成的群(即方程的伽羅瓦群)的“可解性”（見有限群）是可以用根式求解的充分必要條件。由於一般n次方程的伽羅瓦群是對稱群S_n，當且僅當n≤4時S_n為可解，因此一般五次以上方程不可能用根式求解（見伽羅瓦理論）。

　　E.伽羅瓦的遺稿是在1832年決鬥致死前趕寫而成的，J.劉維爾1846年才把它編輯出版。J.A.塞雷特在他1866年出版的《高等代數教程》第3版中才對伽羅瓦的工作做瞭介紹。對於伽羅瓦理論的第一個全面而清晰的闡述，是C.若爾當在1870年的專著《置換和代數方程專論》中給出的。這本名著綜合已有結果，得到新的重要結果，大大地推進瞭置換群論的研究的開展。若爾當深刻地研究瞭由Fⁿ的一些可逆線性變換組成的線性變換群。他還引進瞭商群的概念，並證明瞭今天通稱為若爾當-赫爾德定理的一部分。此外，他首先研究瞭無限群，後來，M.S.李、（C.）F.克萊因和（J.-）H.龐加萊，在微分方程論、幾何學（埃爾朗根綱領）、自守函數論等的研究中，都依賴於無限變換群(連續或離散)、無限群的理論同時得到發展（見群）。至於抽象群的概念雖曾早在1854年為A.凱萊接觸到，但隻限於有限群。一直到19世紀80年代，抽象群的定義才得到通用。這裡所說的由有限置換群的概念的產生到抽象群的定義的形成這一發展過程，正是最終引向建立抽象代數學的第一個根源。

　　第二，在數論一方面，首先在18、19世紀之交，在拉格朗日和高斯關於整系數二次型αx²+2bxy+сy²的研究中，對判別式D=αd-bс取固定值的二次型，引進瞭在整數系數且行列式為1的二元變換下等價的概念，並闡明隻有有限多個等價類。對於這些類引進它們的“復合”作為運算，這樣就在實質上得到瞭一個有限交換群。其次，從高斯關於復數α+bi（α、b為有理數或整數）的研究開始，在德國數學傢P.G.L.狄利克雷、E.E.庫默爾、L.克羅內克、J.W.R.戴德金、D.希爾伯特等對代數數論的研究中，域、理想、模等概念被引入並起著重要的作用。由於研究費馬大問題（見費馬大定理），導致庫默爾第一個提出理想數的概念，後來戴德金建立起理想的理論，用以完成通常整數惟一分解定理對代數整數（整數系數一元方程的（復數）根稱為代數數，首項系數為1的改稱為代數整數）的推廣。戴德金還首先引進格的概念來研究理想。

　　第三，在線性代數和代數方面的工作，對於引向抽象代數學的建立起瞭很大的推動作用。早在1830～1850年間，就由英國數學傢G.佈爾在研究思維規律中建立起邏輯代數或佈爾代數（一種特殊的格），W.R.哈密頓建立起向量代數、四元數非交換代數和一般代數，A.凱萊建立起矩陣代數和八元數非結合代數。還有德國數學傢A.F.麥比烏斯和H.G.格拉斯曼關於向量代數、線性代數和外代數的工作。再在19、20世紀之交，更有英美德法許多數學傢在這方面做瞭大量工作。如J.J.西爾維斯特、W.K.克利福德、B.皮爾斯和C.S.皮爾斯、L.E.迪克森、J.H.M.韋德伯恩、K.（T.W.）外爾斯特拉斯、戴德金、F.G.弗羅貝尼烏斯、T.莫利恩、E.N.拉蓋爾、É.(-J.)嘉當等。作為重要成果，可以提出韋德伯恩在1907年關於一般線性結合代數的構造理論和É.嘉當1894年關於復數域上單純李代數的完全分類工作。上面這些代數的元素對於乘法運算，有的不適合交換律，有的不適合結合律，有的有零因子（即α≠0，b≠0，而αb=0，矩陣代數就是這樣），就大大地擴充瞭過去代數學進行運算的主要對象。如向量、四元數等更由於與力學、物理學的聯系而得到發展。

　　可以說，從19世紀初起，抽象代數就在萌芽並進而成長。到瞭19世紀末葉，群以及緊相聯系著的不變量的概念，在幾何和分析上，在力學和理論物理上，都起瞭重大的影響。深刻地研究群以及其他相關的概念，如域、環、模、代數等，應用到代數學各部分，從許多分散出現的具體研究對象抽象出它們的共同特征來進行公理化的研究，這樣就形成瞭抽象代數學的更進一步的演進，完成瞭以前相對於獨立發展著的三個主要方面（群論、代數數論、線性代數以及代數）的綜合，與差不多同時發展的數學公理化運動相互促進。對這一步統一的工作，近代德國學派起瞭主要的作用。由戴德金和希爾伯特於19世紀末葉工作開始，在H.韋伯的三卷巨著《代數教程》(Ⅰ，1894；Ⅱ，1896；Ⅲ，1891)的影響下，E.施泰尼茨於1911年發表的重要論文“域的代數理論”對於代數學抽象化工作貢獻很大。自20世紀20年代起，以（A.）E.諾特和E.阿廷及她和他的同事、學生們為中心，抽象代數學的發展極為燦爛。在群論、域論、阿廷的形式實域理論(與O.施賴埃爾合作)、希爾伯特第17問題的解決、類域論、諾特(交換)環的理想理論、諾特的模論及應用（建立起有限群的表示理論與代數的構造理論之間的聯系）、代數的理論到阿廷環的推廣等方面，都有重要的成果。德國學派的H.哈塞、R.（D.）佈饒爾、E.諾特與美國學派的A.A.阿爾伯特證明瞭一個主定理：代數數域上的中心單純代數都是中心上的循環代數(1930～1931)。它是這時期一個最突出的成就(見結合代數)。B.L.范·德·瓦爾登根據諾特和阿廷的講稿於30年代初寫成《近世代數學》，綜合當時抽象代數學各方面的工作於一書，對於抽象代數學的傳播和發展起瞭巨大的推動作用。自50年代第4版起，該書改稱《代數學》。

　　綜合上面概括地講，抽象代數學就是以研究數字、文字和更一般元素的代數運算的規律和由這些運算適合的公理而定義的各種代數結構（群、環、域、模、代數、格等）的性質為其中心問題的。由於代數運算貫穿在任何數學理論和應用問題裡，也由於代數結構及其元素的一般性，抽象代數學的研究在數學中是具有基本性的。它的方法和結果滲透到那一些與它相接近的各個不同的數學領域中，成為一些有新面貌和新內容的數學領域，如代數數論、代數幾何、拓撲代數、李群和李代數以至代數拓撲學、泛函分析等。這樣，抽象代數學就對於全部現代數學的發展有著顯著的相互影響，並且對於一些其他的科學領域，如理論物理、結晶學等，也有重要的影響。

　　隨著數學中各分支理論的發展和應用的需要，抽象代數學得到啟發和促進而不斷發展。20世紀30年代所謂抽象代數學的一些基本內容，現在已經成為每個現代數學工作者必備的理論知識，有的還是某些領域的科學技術工作者需要掌握的有力的數學方法。在1933～1938年間，經過G.伯克霍夫、J.馮·諾伊曼、Л.Β.坎托羅維奇、O.奧爾、M.H.斯通等人的工作，格論才確立在代數中以至在數學中的地位。而自20世紀40年代中葉起，作為線性代數的推廣的模論得到進一步的發展和產生深刻的影響，泛代數、同調代數、范疇等新領域被建立和發展起來，它們都是在抽象代數學中起統一作用的概念，在它們的各自研究中人們能夠從某一方面同時研究許多代數結構，甚至其他數學結構。

　　泛代數的思想作為各種代數結構的比較性研究，肇源於A.N.懷特海1898年的專著，但是直到在20世紀三四十年代才得到有深刻意義的結果（G.伯克霍夫、A.塔爾斯基、B.瓊森等）。泛代數對數理邏輯尤其是模型論有重要應用，又以數理邏輯為它的重要研究工具。它的一個基本概念是所謂的Ω代數，即一些代數結構S，T，…等的集合配備著一些有限元運算ω，…等的集合Ω，並有一些映射，如f：S→T，保持Ω中運算ω，即fω=ωf。現在泛代數的某些內容可通過范疇的觀點來處理。

　　同調代數於40年代被引入代數學，最先出現的群的上同調和同調是由代數拓撲學傢W.赫維茨的問題(1936)的解決（H.霍普夫、H.弗勒登塔爾、B.埃克曼、S.艾倫伯格、S.麥克萊恩等）所引起的，並導致艾倫伯格和麥克萊恩於1945年定義瞭群的(系數在任意域中的)上同調群，同時G.赫希施爾德引進瞭結合代數的上同調群。J.L.科斯居爾和C.謝瓦萊、S.艾倫伯格發展瞭李代數的上同調理論。這些分別的理論於1956年為H.嘉當、艾倫伯格用范疇的語言統一起來。同調代數在數論和群論中，以至在代數幾何學和代數拓撲學中都有重要的作用。

　　范疇的概念於1945年在艾倫伯格-麥克萊恩引進同調代數的工作中產生。它的概念包括兩個不同的成分：一類對象和一類它們之間的態射(如兩個集合間的映射，兩個群間的同態等)，而且這些態射可以結合起來又成為一個新態射，態射的結合適合結合律，有單位態射。范疇的定義把對象和態射放在同樣的地位，與通常把著重點放在對象上的作法不同。范疇的語言和基礎部分現在已滲透到數學的很多領域中，並在它們的一些深刻的新的發展中起到瞭重要的作用（例如代數幾何學、代數拓撲學等）。

　　在上面這些新理論發生和發展的同時，由於電子技術的發展和電子計算機的廣泛使用，代數學（包括泛代數和范疇這樣的新領域）的一些成果和方法被直接應用到某些工程技術中去，如代數編碼學、語言代數學和代數語義學(特別與計算機程序理論的聯系)、代數自動機理論、系統學的代數理論等新的應用代數學的領域，也相繼產生和發展。代數學又是離散性數學的重要組成部分，並對組合數學的蓬勃發展起著重要的作用。這些新的應用，促進瞭近世應用代數學的形成，包括半群、佈爾代數、有限域等。

　　近年來各抽象代數結構的研究也取得一系列深入的和突破性的成果。如P.德利涅1973年證明的有限域上的黎曼-韋伊猜想，對於代數幾何學和數論等學科都有重要的影響。1983年G.法爾廷斯用深入的代數幾何的結果和方法，證明瞭費馬大問題(xⁿ+yⁿ=zⁿ，n≥4)隻能有有限多個解。這是對費馬大問題的最終解決的一個突破。另一個出色的成就是1981年初有限單群分類問題的完全解決。這些，都使抽象代數學的研究興旺發達。

　　近代中國數學傢首先在抽象代數學方面工作的是曾炯之。他曾受教於E.諾特。他的一個主要貢獻是證明瞭：設Ω為代數封閉域，則Ω(x)上所有以Ω(x)為中心的可除代數隻有Ω(x)自己(1933～1934)。1936年他引進瞭C_i域的概念（域F稱為C_i域，如對任意正整數d，任一系數在F中的n元d次齊次多項式f(x₁，x₂，…，x_n)，若n＞dⁱ，必在

中有一個非全零解），並證明瞭一個重要定理：若 Ω為代數封閉域，則 Ω( x ₁， x ₂，…， x _n)為一 C _i域。惜已早逝，工作中斷。這個定理在1951年為S.蘭重新獨立發現，現被稱為曾-蘭定理，而 C _i稱為曾層次。這個定理是大多數關於超越擴張的佈饒爾群的研究的基礎，而且對阿廷-施賴埃爾形式實域上二次型理論有重要應用。

　　在近代中國，代數學的發展實始自華羅庚。從1938年秋起，他領導瞭一個抽象代數學討論班，從有限群論開始，他和討論班的其他參加者得到瞭一些有限群論的結果。自40年代初至50年代間，華羅庚在體論、矩陣幾何、典型群三方面進行瞭系統而深入的研究，作出瞭重要的貢獻。他運用（華）恒等式的技巧，證明瞭著名的(華)定理：體的半自同構必為自同構或反自同構(1949)，從而證明瞭特征不為2的體上的一維射影空間的基本定理。他對矩陣幾何的研究，從初期的域推廣到體而更加完整。在體上的矩陣幾何，是體上的代數幾何學的開端。他運用獨特的矩陣方法，在體或整數環上的典型群的自同構和構造的研究方面，特別是對較困難的低維情況，取得瞭優於其他已知方法的結果。由於他和在他影響下其他數學工作者在這方面取得的一系列結果，在國際上被稱為中國學者的矩陣方法。還應指出，華羅庚在多元復變函數論方面的重要貢獻，與群表示論有密切的聯系。

　　周煒良在代數幾何方面有重要貢獻。(見代數幾何)

　　中國代數學傢還在群及其表示論、李群和李代數、環論和代數論、代數數論等方面取得瞭一些有意義和重要的結果。