戴煦

　　中國清代數學傢。字鄂士，號鶴墅，又號仲乙。錢塘（今杭州市）人。生於嘉慶十年，卒於咸豐十年。少年時代與同裏謝傢禾一起研洽數學，對天文學和機械學也有濃厚的興趣。勤於思索，一有所得即使是在夜間也要秉燈以記。一生致力於數學，淡於功名進取。與當時的數學傢如羅士琳、徐有壬及李善蘭等人均有學術交往，尤與項名達為忘年好友。曾校刻謝傢禾遺著《謝穀堂算學三種》，三卷，又校補項名達的遺著《象數一原》六卷並補《橢圓求周圖解》一卷，共為七卷，使成完璧。

<

　　戴煦的著作是多方面的。曾著有《音分古義》二卷，《莊子內篇順文》一卷，《陶淵明集集註》十卷，《元空秘旨》一卷，《重差圖說》若幹卷，《勾股和較集成》一卷，《四元玉鑑細草》若幹卷，《廣割圓捷法》一卷以及音律方面的著作，但均未刊行。戴煦的代表作是《求表捷術》九卷，有粵雅堂叢書本等版本。其中包括論對數表造法的《對數簡法》二卷(1845)和《續對數簡法》一卷(1846)，論三角函數表造法的《外切密率》四卷(1852)及論三角函數對數表造法的《假數測圓》二卷(1852)。戴煦所給的三種表的造法，在中國數學史上均有超越前人的成就，其中尤以對數和三角函數的對數研究最突出。

　　戴煦與項名達共同研究，給出形如

(1)的展開式，而後戴煦又給出

(2)的展開式。式中｜ x｜＜1， n為正整數。值得特別註意的是，他在《續對數簡法》的“論率”一節裡討論瞭(1)、(2)中的 n有“奇零小餘”的情況。按照他的敘述，設有一數 α及本數 A滿足 ，（或 ），或者 （或 時），則稱 n+ h ₁和 n+ h ₂為 n“下帶奇零小餘”。“奇零小餘”可以是有限小數，也可以是無限小數。盡管中國古代數學沒有提出"有理數"，“無理數”的概念，但“奇零小餘”中卻包含著這兩種情形。顯然，若 h ₁、 h ₂為循環小數（有限小數視循環節為0），則有 α= A （ p、 為正整數）。若 h ₁、 h ₂為不循環小數，則 α= A ^r（ r為無理數）。按照(1)可得

　 　　　　　　(3)

，　　　　　　　　　　 (4)

由(1)，(2)，(3)及(4)可知戴煦已推論出

　 (5)

式中｜ x｜＜1， α為任意實數。

　　戴煦在《數理精蘊》的遞次開方求對數法的基礎上推論出　　

　　　　　　　(6)

式中 為“對數根”或模。由(5)、(6)得到下列展開式

　　　(7)

在(8)中令 ，得到 =0.43429448。由此，可用對數展開式造表。他又由(7)及三角函數展開式得到

(9)

式中0＜ α＜π/4。並指出由(8)還可得 lgsec α及 lgcos α的展開式各一。由此得到用展開式造三角函數對數表的方法。

　　此外，戴煦還引進一個“假設對數”的概念，即假設一種對數，它的“根”(模)是M=1或即 log_β(1+x)=x，由此逆求log_β10的值。因常用對數是令lg10=1，而求得lg(1+x)的，他由此建立瞭兩種對數的比例關系

戴煦所假定的這種對數就是自然對數，因而上式即

　　　　 　(11)

於是，他為對數表的造法又辟一途徑。

　　戴煦的(5)～(11)式，在中國數學史上均屬首創，代表瞭其所在時代中國數學研究水平的一個方面。在他之前，對數表造法是以《數理精蘊》中的遞次開方法為主，但該法開方運算量極大，如求lg2，中間步驟有47次的開平方，誠如戴煦所說：“經旬累月不能竟求一數”。當時已有西方的對數表、三角函數對數表傳入，但如何檢驗其精確性卻是一個長期未解決的問題。戴煦給出的各展開式，不僅將造表法推向一個新的水平而且檢驗問題也迎刃而解瞭。