代數K理論

　　產生於20世紀60年代初期、在近20年得到蓬勃發展的一個新的代數學分支。人們最初企圖推廣線性代數中的某些部分，例如將維數理論推廣到一般環的模上，而發展出由環範疇到阿貝爾群範疇的一系列函子，這些函子以記號K₀，K₁，…來表示，研究這些函子的理論，就稱為代數K理論。

　　和拓撲K理論一樣，代數K理論也起源於A.格羅騰迪克在1957年給出的廣義黎曼-羅赫定理的工作，在其定理的證明中第一次出現瞭在一個概型X上的向量叢的格羅騰迪克群K(X)。如果取X=Spec(A)（A的譜）是仿射的，這裡A是可換環，那麼X上的向量叢范疇等價於有限生成投射A模的范疇P(A)。由此，對任意環A（指含有單位元的結合環，不一定可換），可定義范疇P(A)的格羅騰迪克群，以K₀(A)表示。

　　環A的格羅騰迪克群K₀(A)　它是一個阿貝爾群，它的生成元集合是{[M]|M∈P(A)}，定義關系是

，若 在范疇 P( A)中是正合序列。例如，環 A= F是一個域時， K ₀( F)≌Z，這裡Z是整數加法群。又如，環 A是數域 F的代數整數環， 其中 P i c( A)表示 A的皮卡群，這裡它同構於 A的理想類群C( A)。對任意交換環 A的皮卡群，是指由rank1的有限生成投射 A模的同構類相對張量積圱運算形成的群。

　　如果

是域 F上的多項式環，那麼任一有限生成投射 A模是自由的，這就是著名的塞爾猜想。在解決這一著名猜想過程中，啟發和派生出很多代數 K理論的工作。

　　懷特海群K₁(A)　它是H.巴斯於1964年給出的，H.巴斯和他的合作者對K₀和K₁進行瞭廣泛的研究。最初，K₁(A)隻是作為群GL（A）的換位子商群GL(A)／[GL(A)，GL(A)]給出的，其中

令 這裡 K _n( A)是由 GL _n( A)中初等矩陣 e _ij( λ)( i≠ j， λ∈ A)全體生成的子群，有 K( A)=[ GL( A)， GL( A)]。於是 K ₁( A)＝ GL( A)/ K( A)。實際上，對任何一個阿貝爾范疇的相容子范疇 b都可以給出按格羅騰迪克方式定義的懷特海群，用 K ₁ b表示，其具體構造如下：首先由 b構造新范疇 ， Obj =｛( M， α)│ M∈ b， α是 M的自同構｝。所謂 f∈Hom(( M， α)，( M′， α′))，是指 f∈Hom( M， M′)和使得 f。 α＝ α′。 f。如果序列

在 b中是正合的，那麼序列

(*)

在 中稱為正合的。 K ₁ 是一個阿貝爾群，生成元集合是{[ M， α]│( M， α)∈ Obj }，如果序列(*)在 中是正合的，那麼有定義關系：[ M， α]=[ M ′， α′]+[ M″， α″]；如果 α、 β都是 M的自同構，那麼有定義關系：[ M， α β]=[ M， α]+[ M， β]。H.巴斯給出瞭如下的結果：

　　從K₁(A)到K₁P(A)存在一個自然同構φ：K₁(A)=GL(A)/K(A)→K₁P(A)，它由φ([α])=[Aⁿ，α]給出，其中α∈GL_n(A)，[α]∈GL(A)/K(A)。

　　若環A是交換的，令SK₁(A)＝SL(A)／K(A)，其中

則有 這裡 U( A)是環 A中所有可逆元全體構成的乘法群。若 A是一個域或局部環，有 SK ₁( A)=0，這時 K ₁( A)≌ U( A)。

　　關於洛朗多項式環A[t，t^-1]上的群K₁(A[t，t^-1])的結構被看作“古典”代數K理論的柱石。這裡A是一個環，t是超越元，t可與A的元素交換，A[t，t^-1]由洛朗多項式

組成，其中 n≤ m； n、 m∈Z。H.巴斯等人給出：對任何環 A，存在一個自然分裂的正合序列

由此可得 其中

j： A[ t]→ A， j( t)=1。

　　這一結果給出瞭函子K₀和K₁之間的深刻關系，也啟發瞭對函子K_-n(n＞0)的定義。對於n＞0，阿貝爾群K_-n(A)用下面的公式給出歸納的定義：

其中餘核 Coker( f： A→ B)= B/ f( A)。

　　幾個例子：如果A=F是一個域，

（ F的乘法群）； K ₁(Z)≌{±1}乘法群； K ₁(Z[i])≌{±1，±i}乘法群，其中 i ²=-1。

　　米爾諾函子K₂(A)　J.M.米爾諾於1967年給出函子K₂定義，是由施坦伯格群St_r(A)(r≥3)出發的，St_r(A)由生成元和定義關系給出，生成元的集合是{x_ij(α)|i≠j，1≤i，j≤r，α∈A}，定義關系是

； ， i≠ k； ， j≠ k，i≠ l。由群 S t _r( A)到群 GL _r( A)的同態 ，由 給出。 Ker φ _r定義為 K ₂( r， A)，即

。令 r→ ，得到同態 ： S t( A)→ GL( A)，從而得到正合序列0→ Ker → St( A)→ GL( A)→ K ₁( A)→0。定義 K ₂( A)為 的核，即 K ₂( A)= Ker 。米爾諾指出， K ₂( A)就是 St( A)的中心，所以是阿貝爾群。

　　D.G.奎倫於1970年給出高次K群（指n≥3）的定義，並提供瞭第一個計算高次K群的有效工具。他精確地計算瞭群K_x(F_q)（F_q是q元有限域），

\ n

　　對不同類型的環A，群K_n(A)在數學的許多領域中有重要的應用。例如：在拓撲K理論中，當取A=C(X)是緊空間X上的連續復值函數環時，K_n(C(X))與X的復的K理論有關。在代數幾何學中，當取A是仿射代數簇X上多項式函數環時，A的代數K理論與X上的代數向量叢和相交理論有關。在數論中，當取A是數域F的代數整數環時，群K_n(A)和K_n(F)與數論有深刻的聯系。在幾何拓撲學中，當取A=Zπ是群π的整數群環時，群K_n(Zπ)與幾何拓撲的障礙群有密切關系。

　　

參考書目

　H.Bass，Algebraic K-Theory，Benjamin，New York，1968.

　J.Milnor，Introduction to Algebraic K-Theory，Annalsof Mathematics Studies，Princeton Univ.Press，Princeton，1971.

　H.Bass，Algebraic K-Theory：A Historical Survey，Proceedings of the International Congress of MatheMaticians，Vancouver，1974.

　J.R.Silvester，Introduction to Algebraic K-Theory，Chapman and Hall，London，1981.