狄利克雷級數

　　又稱指數級數，即形如

(1)

的級數，簡記為 ，式中 α _n是複常數；

； s= σ+ i t； σ及 t是實變數。若(1)收斂，則記其和為 f( s)。當 λ _n= n時，級數(1)是 e ^{- s}的冪級數，其性質可由冪級數的性質推出，由此啟示人們研究一般指數級數的性質。當 λ _n=ln n時，級數(1)成為 這是P.G.L.狄利克雷在解析數論中引用的重要級數；在 α _n=1的最簡單的情形，它稱為黎曼 ζ函數。此外，把狄利克雷級數推廣到積分的情形就是 拉普拉斯變換，因此兩者有很多類似之處。

　　收斂性　對一般指數級數有阿貝爾型的定理：設級數(1)在一點s₀收斂，則它在任何角域│arg(s-s₀)│≤у(＜π/2)中一致收斂。這樣，如級數(1)在一點

收斂(絕對收斂)，則它在任何點 s= σ+i t( σ＞ σ ₀)收斂(絕對收斂)。於是級數(1)屬於下列三種情況之一：①存在著有限數 σ ₀( σα)，級數在半平面 σ＞ σ ₀( σ＞ σα)內收斂(絕對收斂)，在半平面 σ＜ σ ₀( σ＜ σα)內發散(不絕對收斂)。這時 σ ₀( σα)稱為級數(1)的收斂橫坐標(絕對收斂橫坐標)， σ＞ σ ₀( σ＞ σα)稱為收斂半平面（絕對收斂半平面）， σ= σ ₀( σ= σα)稱為收斂軸（絕對收斂軸）。②對任何 s= σ+i t，級數發散（不絕對收斂），這時稱級數(1)的收斂（或絕對收斂）橫坐標為+ 。③對任何 s= σ+i t，級數收斂（絕對收斂），這時稱級數(1)的收斂（絕對收斂）橫坐標為－ 。

　　對級數(1)還可引進一致收斂橫坐標的概念。級數(1)的一致收斂橫坐標是

。

這幾個收斂橫坐標有如下關系： 。當 λ _n= n時， ，但這在一般情形下不成立，例如對於

　　對於級數(1)的各種收斂坐標，有柯西－阿達馬公式的推廣，如 ，設

且令

如 ，則令 。於是

　　關於收斂橫坐標還有一個簡單的不等式：

　　解析性　根據阿貝爾型定理以及外爾斯特拉斯定理，在上述情況①下，f(s)在σ＞σ₀內解析；在情況③下，f(s)為一整函數。可是反之，並非任何整函數或在半平面σ＞α內的解析函數都可表示為指數級數。Α.Ф.列昂季耶夫不限於考慮｛λ_n｝是正數序列的級數(1)。他證明瞭：任何整函數可寫成三個式(1)型級數的和，而在每一級數中，｛λ_n｝在從原點出發的一條射線上。對於無窮或有界凸區域內解析的函數，也有類似結果。

　　系數的表示和估計　如σα＜+

，那麼對於 σ ₁＞ σα， 式中 t ₀是任一實數。由此可得柯西不等式的推廣：

(2)

這裡

(2)有種種推廣，特別是對漸近指數級數的推廣，可用來解決一些分析中的重要問題，如加權逼近問題、矩量問題的惟一性以及準解析函數問題等。

　　關於冪級數的奇異點、增長性、值的分佈以及求和法等方面許多結果，都可推廣到指數級數。

　　

參考書目

　S.Mandelbrojt，Séries de Dirichlet，Gauthier-Villars，Paris，1969.

　S.Mandelbrojt，Séries Adhérentes etc.，Gauthier-Villars，Paris，1952.