仿射幾何學

　　研究圖形在仿射變換下不變性質的幾何學分支學科。設V是一個n維向量空間，A是一個集合，其中元素稱為點。如果對A中每兩個點P、Q都惟一對應著V中的一個向量

並且這種對應規則還滿足：(1) ( V中零向量)，(2)任給 P點和 V中向量 a，總惟一存在點 Q使 ，(3)對 A中任意三點 P、 Q、 M，成立 則稱 A為一個 n維仿射空間。 n=2時，稱為仿射平面。

　　在仿射空間中取定一點O，那麼任意一點P就惟一地與V中的向量

對應， 稱為 P點關於點 O的位置向量。點 O也常稱為原點。因此，取定原點後，仿射空間 A就與向量空間 V建立起雙方一一的對應。由此，就可以建立起仿射空間中的仿射坐標系（見 坐標系）。

　　對於向量空間V的k維子空間V^k(0＜k≤n)和A中點P，集合

稱為 A的仿射子空間，它是過點 P的一個 k維仿射空間。如果 A的子集是仿射空間，必能表為上面形式。特別當 k=1時， A 稱為過 P的直線； k=2時，稱為平面； k= n-1時，稱為超平面。

　　仿射空間中最重要的變換是仿射變換，它的特征是將共線的三點變為共線的三點。給定仿射坐標系後，仿射變換有明確的代數表示。仿射變換全體構成的變換群稱為仿射變換群。仿射變換下重要的不變性質和不變量有：共線性、平行性、平行線段的長度比等。

　　如果在仿射平面（或空間）中引入無窮遠點，並且將它們與原有點不加區別，則就成為射影平面(或空間)。在射影平面（或空間）中指定一條（或一個）直線l(或超平面π)，那麼射影變換群中保持l（或π）不動的變換就構成一個與仿射變換群同構的變換子群。從這個意義上講，仿射變換群就是射影變換群的子群，而仿射幾何也就成為射影幾何的子幾何（見射影幾何學）。

　　

參考書目

　蘇步青編：《高等幾何講義》，上海科學技術出版社，上海，1964。

　方德植，陳奕培編：《射影幾何》，高等教育出版社，北京，1983。