泛函數

　　又稱泛函，通常實（複）值函數概念的發展。通常的函數在Rⁿ或Cⁿ（n是自然數）中的集合上定義。泛函數常在函數空間甚至抽象空間中的集合上定義，對集合中每個元素取對應值（實數或複數）。通俗地說，泛函數是以函數作為變元的函數。泛函數概念的的產生與變分學問題的研究發展有密切關系。設Ω為Rⁿ中的區域，Г₁表示邊界∂Ω的片斷，

表示一函數集合。考慮對應

，式中

F為具有 2 n+1個自變數的函數： 為尋求 J( u)的局部極值，在一定條件下取 J( u)的加托變分

如果在 u= u ₀達到局部極值，則 u ₀適合歐拉方程 δ J( u)=0。在應用中，常以數學或物理的某個微分方程為背景產生一定泛函數，使原問題化成泛函數極值問題。當代分析學中，變分方法有廣泛應用。一般把問題化成 T x=0的形式，即對應於某泛函數 φ的歐拉方程，其中 φ定義在一巴拿赫空間 X中的開集 S上且加托可微：

算子 T稱為梯度算子， φ稱為 T的場位。人們常遇到二階微分系統，由此產生二次泛函數極值問題，是當代變分法常見的研究對象。

　　泛函數φ：S⊂X→R（X為拓撲空間）稱為在x∈S處下半連續，如果對每個實數r＜φx，有x的鄰域U(x)，使得r＜φz，∀z∈U(x)∩S。稱φ在x∈S處下半序列連續，如果對每個序列

。其連續性及有界性如同對算子相應的性質所做的規定。

　　設φ是定義在線性集合S上的實（復）值泛函數。如果φ(x+y)＝φ(x)+φ(y)，φ稱為加性的；如果φ（λx）=λφ(x)，λ∈R(C)稱為齊性的；如果同時有加性及齊性稱為線性的。當φ取實值時，加性得放松為次加性，其定義為：φ(x+y)≤φ(x)+φ(y)；齊性得放松為正齊性，其定義為：f(λx)=λf(x)(λ≥0)；如果同時有次加性及齊性，則稱φ具有次線性；如果對於λ∈(0，1)，有φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y)，則稱φ為凸的；如果當x≠y時上式中的≤必為＜，則稱φ為嚴格凸的。在一些問題中，容許凸泛函數φ取值＋∞，但φ扝+∞，這時稱φ為真凸的。此外，還有所謂凸集S上的擬凸泛函數φ：S⊂K→R（K為線性空間），使φ(tx+(1-t)y)≤max{φx，φy}，x，y∈S，t∈(0，1)。在賦范空間K中無界集S上定義的泛函數φ稱為強制的，如果有函數с：(0，+∞)→R，с(t)→+∞(t→+∞)使得φ(z)≥с(‖z‖)，∀z∈S。

　　線性泛函數是線性算子理論研究的對象之一，也是研究空間性質及結構的工具。例如，局部凸拓撲線性空間K有對偶空間K

， K 的元素就是定義在 K上的連續線性泛函數。對 K 可賦予簡單收斂拓撲或有界收斂拓撲。偶 K、 K 間的關系對認識空間的性質和研究算子的性質都有基本意義。

　　相應於多重線性算子有多重線性泛函數。例如，設K₁、K₂是同一數域上的線性空間，定義在積空間K₁×K₂上的映射φ：K₁×K₂→R（或C）稱為雙線性泛函數，如果K₂(K₁)中元素固定時φ成為K₁(K₂)上的線性泛函數。當K₁=K₂=K，K₁及K₂中取等同的x∈K，則得φ(x，x)，稱為二次泛函數。對希爾伯特空間中線性算子譜理論的研究，雙線性泛函數形式作為表示工具是方便的。二次泛函數在變分法中的應用更是為人熟知的。

　　擬賦范空間、局部凸拓撲線性空間、賦范空間等的表征主要在於分別在各空間上定義的次加性泛函數，即擬范數、半范數族、范數等。測度空間中的測度，即對應於某種集合的值也可理解為泛函數。對於給定函數的不定積分也可類似地看待。