泛函積分

　　無限維分析學的一個新分支。它起源於量子物理學中的連續積分和概率論中的隨機過程的樣本空間的研究。目前，泛函積分方法已深入到分理化量子場論、基本粒子理論、隨機力學、馬爾可夫場、統計物理和湍流理論等領域。同時，泛函積分正在與群表示論、巴拿赫空間幾何學、微分方程論、隨機過程理論相互滲透。這一切都使它成為現代分析學中的一個令人矚目的學科。泛函積分的內容目前主要包括連續積分、柱測度、正定函數、擬不變測度理論等。

　　連續積分　連續積分是指泛函沿著一類連續軌道的積分。1942年R.P.費因曼從最小作用量原理出發定義路徑積分，它給出量子力學的另一種等價的表達形式，後人稱為費因曼路徑積分，目前它已在量子物理中被愈來愈多地引用。為簡單起見，以有限個自由度的量子力學體系為例。通常這種體系的狀態用滿足薛定諤方程的復值的波函數ψ描寫。例如，質量為m的粒子在勢能場V(x)中的運動，這時ψ滿足方程

如果用 ψ( x， t； x ₀， t ₀)表示粒子在 t ₀時刻處於 x ₀位置的波函數，那麼 量子力學的一個基本問題是求出 ψ( x， t)或 ψ( x， t； x ₀， t ₀)的表達式。

　　按照經典力學的觀點，質量為m的粒子在勢能場V(x)中運動的拉格朗日函數為

設 x( τ)是一條連續路徑，適合條件 x( τ ₀)= x ₀， x( τ)= x，那麼沿著路徑的作用量為

　　費因曼從最小作用量原理出發將波函數ψ（x，t；x₀，t₀）表示成作用量S沿著一切可能的連接(x₀，t₀)和(x，t)的連續軌道上的積分，即

這裡 N是規范因子。

　　從數學的角度看，路徑積分是沒有經過嚴格定義的概念，最通常的理解是，先將[t₀，t]進行n等分，記

0≤ j≤ n。作依次連接（ x _j， jΔ t）的折線 x _n( τ)，設 作 n重積分

（這裡 N _n是規范因子），然後將費因曼積分設想成當 n→∞時上述積分的極限。但因為 是隨著 n的增大而劇烈振蕩的函數，故上述的極限實際上是不存在的。但費因曼積分非常富有啟發性，許多物理學傢運用這種路徑積分及按他們的物理設想所提出的一些計算法則能很好地說明量子物理中的許多問題，例如從量子力學到經典力學的過渡等。同時，在量子場論中也出現瞭大量的類似的沒有嚴格定義的連續積分。這就向數學傢提出瞭建立路徑積分的嚴格的數學基礎的要求。它是泛函積分研究的重要課題之一。近40年中，人們利用解析開拓、廣義函數、復值測度和振蕩積分等各種手段去進行研究，但至今尚未解決。

　　泛函積分與微分方程　早在路徑積分出現以前，N.維納在研究作佈朗運動的粒子的統計規律時已提出維納測度。設t＞0，C表示[0，t]區間上連續並在0點取值為零的函數全體（C中的每個元素可理解為作一維佈朗運動的粒子的軌道）。又設(α_i，b_i)，1≤i≤n，是n個區間，

稱集合 A＝{ x| x∈ C， x( t _i)∈( α _i， b _i)，1≤i≤ n}是C中的柱集。那麼，軌道 x落入 A中的概率是

　

這樣在柱集全體上定義瞭一個柱測度。維納證明瞭它可以延拓成 C上的可列可加的測度d _ω x，通常稱為維納測度，關於這個測度的積分稱為維納積分。

　　M.卡茨研究瞭一類泛函在作佈朗運動的粒子所有軌道上的平均值的計算。設F是C上的連續泛函，這個平均值就是F關於維納測度的數學期望

。對連續軌道 x作依次連接 1≤ j≤ n的折線 x _n( t)，記

1≤ i≤ n，則

引用費因曼的記號，上式可改寫為

M.卡茨受到費因曼路徑積分表示薛定諤方程的解的思想的啟發，利用維納積分去解微分方程。證明瞭

在一定條件下滿足方程 ， ψ( y，0)= f( y)。

　　這項工作開辟瞭用泛函積分研究微分方程的新方向，至今也還是泛函積分中的一個十分有意義的研究領域。

　　柱測度　柱測度是測度概念的推廣，它也是研究具有無限多個參數的隨機過程(廣義隨機過程)的重要工具之一。設φ是拓撲線性空間，(Ω，P)是概率空間，如果給定一族依賴於φ中的元素φ的隨機變量{X(·，φ)，φ∈φ}，滿足線性關系

（等式關於 P幾乎處處成立）；則稱它是 φ上的線性過程。另外，如果對 φ中任何一個收斂於0的定向序列{ φ _λ， λ∈Λ}，隨機變量序列{ x(·， φ _λ)， λ∈Λ}依概率收斂於0，則稱{ x(·， φ)， φ∈ φ}為廣義(線性)隨機過程。根據柯爾莫哥洛夫概率測度存在性定理，在 φ的代數對偶空間 φ _A（ φ上的線性泛函全體）上存在 σ代數 B和概率測度 μ，使得 φ _A上的由 φ ( f)= f( φ)( φ∈ φ， f∈ φ _A)定義的函數 φ 關於 B可測，而且若 ，則

以上 A表示 R ⁿ中的波萊爾集。

　　這裡的基本問題之一是研究μ能否集中在一個比φ_A更小的線性子空間W上，以便對廣義隨機過程{x(·，φ)，φ∈φ}的樣本軌道X(ω，·)作比較深入的研究。尋找樣本空間W的問題等價於研究柱測度的可列可加性。

　　設X，Y是兩個實的線性空間，〈x，y〉，x∈X，y∈Y是X×Y上的實的雙線性泛函，並且對X中的任何非零向量x，必定存在y∈Y，使〈x，y〉≠0，對Y空間也有同樣假定。在X中任取n個向量x₁，x₂，…x_n，記Y中使＜x₁，·>，＜x₂，·>，…，＜x_n，·>可測的最小σ代數為F(x₁，x₂，…，x_n)。F(x₁，x₂，…，x_n)中的集稱為Y中的柱集，柱集全體記為φ，它是Y上的代數。設μ是φ上的集函數，μ限制在每一個F(x₁，x₂，…，x_n)上是一個概率測度，稱為Y上的柱測度。當X是拓撲線性空間時，如果對任何ε>0，存在X中零的鄰域V，對任何x∈V，成立μ｛y||＜x，y＞|>1｝＜ε，則稱μ關於X的拓撲是連續的。特別當{X(·，φ)，φ∈φ}是廣義隨機過程時，取φ_A中的線性子空間W₀，使得φ=0與對一切f∈W₀，f(φ)=0等價。設X=φ，Y=W₀，＜φ，f＞=f(φ)，定義

那麼， μ是 W ₀上關於 φ的拓撲連續的柱測度。從而 W ₀是否成為樣本空間的問題等價於柱測度 μ在 W ₀∩ φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯證明瞭下面的基本定理：設 φ是核空間，則 φ的共軛空間(連續線性泛函全體) φ′上的任何一個關於 φ的拓撲連續的柱測度都是可列可加的。所以 φ上的每一個廣義隨機過程都以 φ′為樣本空間。1962年，夏道行證明，設 B是具有基底{ e _n， n≥1}的巴拿赫空間， φ是由{ e _n， n≥1}張成的線性子空間，{ e _n}是一列隨機變量，並依概率1成立 令 依概率收斂｝，則 W上關於 B的拓撲連續的柱測度是可列可加的。這個結果的重要性不但在於它是明洛斯定理的推廣而且在於它指出瞭柱測度可列可加性與巴拿赫空間結構的本質聯系。

　　L.施瓦爾茨研究瞭將柱測度變換成可列可加測度的線性映射-拉東映射，提出瞭巴拿赫空間型的概念，在此基礎上建立瞭研究柱測度可列可加性的一般原理即施瓦爾茨對偶性定理。

　　正定函數表示　將是限維空間上深刻的調和分析理論推廣到無限維空間(拓撲線性空間或更一般的拓撲群)是無限維分析的主要課題。正定函數的表示問題就是其中之一。設G是拓撲群，e是G的單位元，f(G)是G上的函數，f(e)=1。如果對g中任意n個元素g₁，g₂，…g_n和任意n個復數z₁，z₂，…z_n，成立

，稱 f是 g上的正定函數。

　　正定函數的表示問題和柱測度的可列可加性的關系極為密切。設φ是拓撲線性空間，φ按向量的加法成為交換的拓撲群。若f是φ上的正定函數，W是φ_A上的線性子空間，且φ∈φ，φ=0等價於f（φ）=0，對任何f∈W；那麼在W上有惟一的柱測度Λ，使

( g∈ φ)。 f是 φ上的連續的正定函數的充要條件是柱測度Λ關於 φ的拓撲是連續的。因此，經典調和分析中的有限維空間上的博赫納定理在無限維空間上的推廣問題與研究柱測度的可列可加性是等價的。當 G是一般的交換的拓撲群時，可用 G的特征標群 G ^A代替 φ ^A進行類似的討論。根據關於柱測度可列可加性的明洛斯定理知道，核空間 φ上的連續正定函數必是 φ′上的概率測度的傅裡葉變換。夏道行利用擬不變測度的理論對交換拓撲群上的正定函數的表示得到瞭很一般的結果，即對一類交換的拓撲群推廣瞭博赫納定理。

　　擬不變測度　設X是拓撲空間，B是X中開集全體張成的σ代數。如果g是X上的雙射，並且對任何A∈

，則稱 g是( X， B)上可測同構。令 G是( X， B)上可測同構全體所成的變換群。設 μ是 B上正則測度（即 μ是滿足下列條件的測度：對任何 A∈ B以及ε>0，必存在開集 O，閉緊集 F，使得 Oɔ Aɔ F，並且 μ( O- F)＜ε）對任何 G∈ G，定義 ， A∈ B。如果對一切 g∈ g， g· μ與 μ都等價，則稱 μ關於群 g是擬不變的測度。

　　和連續積分一樣，擬不變測度的研究來源於量子物理。例如，量子場論中交換關系的表示問題實質上是和尋找某個拓撲線性空間上擬不變的概率測度問題等價的。又如相應於量子場論中真空態的測度就具有某個擬不變性質。這個事實推動瞭一般的擬不變測度理論的研究。夏道行利用測度論和算子代數的方法率先對它們作瞭系統的研究，建立瞭一整套理論，獲得擬不變測度的許多基本性質，例如，證明瞭如下結果：設X是拓撲群，G是X的子群，G上有拓撲τ使(g，τ)成為第二綱的拓撲群，且G到X中的嵌入是連續的。對每個g∈G，定義左乘變換τ_g，如果(X，B)上存在有限的正則測度μ，它關於{τ_g，g∈G}是擬不變的，那麼對B中每一個正測度的緊子集K，必然存在(G，τ)中單位元的鄰域V，當h∈V時，μ(K∩τ_hK)>0。由此，立即可推出在無限維的巴拿赫空間E上不存在關於全空間平移擬不變的正則的概率測度。

　　另外，設P(x)是(X，B)上的非負可測函數，當g∈G時，定義p

( g)=本性下界( p( x)+ p(τ _g ^{_ 1} x))(本性下界指在 X中除去任意一個 μ零集後在其上取下界，然後取這些下界的最大值）。

　　夏道行證明瞭下面的重要不等式：當(G，τ)又滿足第一可列公理時，對B中任一正測度集A，必有(G，τ)中單位元的鄰域V和正數с，使得對X上的任一非負可測函數p，成立

。

　　對g∈G，可定義L²(x，μ)上的酉算子U_G，

{ U _g， g∈ g}是群 g的酉表示，記 u是由{ U _g， g∈ g}張成的 L 上的對稱的弱閉算子代數，夏道行利用對稱的弱閉算子代數的分解定理，研究瞭擬不變測度的分解，證明對偶空間的存在，在這個基礎上建立瞭關於擬不變測度的 L ²傅裡葉變換理論和相應的計算公式。看來，這個理論將為無限維空間上的微分方程、變分方程的研究提供工具。