研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。它是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。半個多世紀來，一方面它不斷以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的物件和某些研究手段，並形成瞭自己的許多重要分支，例如運算元譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間（也稱拓撲向量空間）理論、廣義函數論等等；另一方面，它也強有有力地推動著其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立群上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。

　　泛函分析的起源　泛函分析的源頭之一是變分法。18世紀形成的變分法的核心課題是研究形如

（或更復雜）的積分的極值。這裡函數 y＝ y( x)是在某個集合 Y上變動，例如 Y可以是［ α， b］上具有連續導函數(或再附加一定的約束條件，如 y( α)＝0， y( b)＝1等)的函數的全體。如果說微積分是研究以數 x為自變元的函數 f( x)，那麼變分法就是研究以函數 y為自變元的函數 J[ y]。函數 y在這裡被視為“點”。19世紀末， J.（-S.）阿達馬首先給這種函數的函數 J[ y]冠以“泛函”的名稱。在泛函 J[ y]的極值的研究中，需要考察與一個函數 y 0相“鄰近”的一切函數，這就向人們暗示： Y中的函數(“點”)與函數(“點”)之間有著某種衡量遠近的幾何度量，從而 Y是具有某種度量的、由函數(“點”)構成的“空間”。但是，認識到要把函數視為點，把某些函數構成的集合視為空間（函數空間），還是在和其他學科長期發展的歷史過程中形成的。所以就連“泛函”一詞的出現也並不是在變分法形成的18世紀，而是直到19世紀末。

　　泛函分析的另一個源頭是積分方程。自從1823年N.H.阿貝爾從力學問題中提出並研究積分方程

f( x)以後，19世紀末在微分方程，例如在狄利克雷等問題的研究中，出現瞭上述積分方程的推廣形式，所謂沃爾泰拉型積分方程。 （E.）I.弗雷德霍姆1900年又對積分方程 作瞭重要研究。後者引起瞭 D.希爾伯特的極大興趣。1904～1906年，希爾伯特在這方面完成瞭6篇論文。他在實連續積分核 K( x， y)是對稱的(即 K( x， y)= K( y， x))的條件下，獲得許多比弗雷德霍姆更深入的結果。例如，證明特征值是實的，給出預解式的形式與特征展開等等，這些通常稱為希爾伯特譜論。希爾伯特利用正交展開將積分方程求解問題化成無限階的線性方程組求解問題，並在此基礎上引入無限維（實）歐幾裡得空間 l 2，即滿足 的實數列 α＝( α 1， α 2，…， α n，…)全體。他提出瞭 l 2上有界雙線性形式、有界線性形式(即所謂連續線性泛函)以及兩種收斂（即所謂的強、弱收斂）等概念，給出瞭 l 2上的選擇原理(即所謂的閉單位球的弱緊性)，還發現連續譜的存在等等。這表明用代數方法來研究分析中某些課題是很自然的。

　　泛函分析的形成　泛函分析作為學科的形成，以致它的整個發展，至今主要是圍繞著對偶理論和算子譜論展開的。

　　度量空間和函數希爾伯特空間　幾乎與希爾伯特同時，M.R.弗雷歇就提出並研究瞭以具體函數類為主要背景的抽象度量空間（也稱距離空間）以及度量空間中的緊性、完備性、可分性等泛函分析的基本概念。這裡包含著一般拓撲學（又稱點集拓撲學）的萌芽。另一方面，希爾伯特的學生E.施密特在積分方程的研究中發展瞭希爾伯特譜論。他在1908年的論文中已使用復l2、內積和范數的符號，給出瞭正交、閉集、向量子空間的定義，並證明在閉向量子空間上投影的存在性。這是基本的幾何概念正式進入瞭泛函分析。1902年H.L.勒貝格的積分理論問世(似乎當時希爾伯特不知道)，有力地加速泛函分析的形成。1906～1907年，E.菲舍爾和F.（F.）裡斯利用新積分工具相互獨立地證明瞭裡斯—菲舍爾定理。裡斯在此基礎上引入平方可積函數空間L2[α，b]，證明瞭它的完備性、可分性，並很自然地將弗雷德霍姆理論推廣到K(x，y)是矩形[α，b]×[α，b]上平方可積函數的情形。

　　連續線性泛函　泛函分析的一個基本概念。圍繞對它的研究形成的對偶理論至今仍是泛函分析中心課題之一。對它的研究最早可追溯到C.博萊特(1897)提出要用連續性條件來刻畫一定函數類上的連續線性映射T：E→F。1903年阿達馬在E是C[α，b]([α，b]上連續函數的全體)，F是實數域，當{fn}一致收斂於f 時，Tfn→Tf的情況下，將T表示成一列積分的極限的形式。但這種表示不惟一，並且有極大任意性。後來在實l2空間上，弗雷歇和裡斯獨立地在T是所謂強連續假設下給出簡單而惟一的表示，即希爾伯特空間l2上的連續線性泛函表示定理。裡斯在1909～1910年又相繼給出C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p＞1)上的表示定理。在這些表示定理的證明中實質上已蘊含線性子空間（又稱向量子空間）上連續線性泛函必可延拓到全空間的事實。E.黑利從1912年開始（中間經過第一次世界大戰的中斷），直到1921年用“賦范數列空間”(他並未用這個名稱)代替具體的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考慮較抽象形態的延拓問題。他使用瞭凸性以及在有限維空間情況下早為H.閔科夫斯基用過的術語，如支撐超平面等。

　　巴拿赫空間　在許多具體的無限維空間以及它們上面相應的收斂性出現之後，抽象形態的線性空間（向量空間）以及按范數收斂的出現就成為自然的瞭。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同時還有N.維納）獨立地引入賦范線性空間。當時的討論事實上都限於完備的賦范線性空間。1922年哈恩從當時分析數學許多分支已達到的成果和方法中提煉出瞭共鳴定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完備度量空間的第二綱性代替原來所謂“滑動峰”證明方法，給出現今常見的證明。1922～1923年巴拿赫又得到瞭壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年哈恩完全解決瞭完備賦范線性空間上泛函延拓定理的證明，並第一次引入賦范線性空間E的對偶空間（共軛空間）K

（當時稱為極空間）。兩年後，巴拿赫用同樣方法也得到同樣結果（後來，他承認哈恩的優先權），並看到這個定理可以推廣。這個推廣形式在後來的局部凸拓撲線性空間理論中起瞭重要作用。1931年巴拿赫將他1923～1929年的工作以及當時主要成果寫成《線性算子理論》一書，書中大部分討論他1929年開始研究的弱收斂，這又成為局部凸拓撲線性空間理論出現的先導。在同一書中還發表瞭完備賦范線性空間上連續線性算子值域不是第一綱集便是全空間以及閉圖像定理等重要結果。這時，作為完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，它的許多結果已成為泛函分析應用中的強有力工具。人們為紀念他的功績，把完備賦范線性空間稱為 巴拿赫空間。近年來，人們特別感興趣的一個領域是研究巴拿赫空間的幾何學。

　　算子譜論　事實上，希爾伯特譜論已是泛函分析算子譜論的開始（雖就算子而言是具體的由核K(x，y)所確定的積分算子，可就觀念和研究方法而言卻是代數的）。

　　然而早在18世紀，人們已從數學的各個領域的經驗中開始對算子有所意識，特別從種種方程的解具有疊加性中瞭解到許多重要運算，例如微分運算、積分運算等都具有線性。但作為譜論的直接源頭是弗雷德霍姆理論，這個理論與有限階線性方程組求解理論極其相似。人們自然會問：怎樣的線性運算和熟知的有限維空間上線性變換的若爾當型與弗雷德霍姆理論有相似的性質？這個問題在裡斯之前，有人探索過，但未解決。1916～1918年，裡斯給出瞭完全的回答。他先限於lp，後又考察C[α，b]，他未用希爾伯特的雙線性形式，而直接用術語算子代替它，引入全連續算子概念。最終他又把討論基本上推廣到瞭巴拿赫空間上。其中涉及共軛算子的某些結果，後由J.P.紹德爾(1932)補充完成。通常稱它為裡斯—紹德爾理論。裡斯受希爾伯特發現連續譜現象的啟發，用與希爾伯特完全不同的但具有典型泛函分析意味的方法得到l2上有界自共軛算子A的譜分解：

，其中 f是[ α， b]上的連續函數，{ E λ}是 l 2上一族投影算子。這對希爾伯特發現的連續譜或說應是近似點譜做出瞭很好的解釋。或說：非特征值的連續譜所相應的是廣義特征向量。當然他當時的表達形式是較原始的。20世紀20年代是量子力學的大發展時期，不斷出現的新思想要求尋找合適的數學工具。物理學傢們最終發現，可觀察量的性質與希爾伯特空間（當時還沒有這個名稱）上自共軛算子的性質具有不平常的一致性，而希爾伯特所提出的數學上的譜可以用來解釋物理學上原子的譜，因此紛紛來找希爾伯特幫助。1926年，作為助手來到希爾伯特身邊的 J.馮·諾伊曼開始曾以 L 2[ α， b]上積分算子進行嘗試，發現物理學傢所必須運用的狄喇克 δ－函數的概念中，從當時的數學看來，包含著矛盾。馮·諾伊曼為提供量子力學的嚴格數學基礎，於1929～1932年，正式引入並定名抽象的（即現在的） 希爾伯特空間概念。鑒於物理學上的可觀察量以及奇異積分方程、微分方程中出現的重要算子都是無界的，馮·諾伊曼引入稠定閉算子概念。他做出系統的奠基性的工作：給出瞭無界自共軛算子的譜分解，發現對稱算子和自共軛算子的區別，建立瞭對稱算子虧指數理論，又給出瞭酉算子和正常算子譜分解，證明瞭量子力學中交換關系的表示在酉等價意義下是惟一的（即量子力學體系的數學描述本質上隻有一種）等等。此後作為單個算子譜論，人們最主要興趣是非正常算子譜論和巴拿赫空間算子譜論。巴拿赫的《線性算子理論》一書問世以及馮·諾伊曼的譜理論的出現，標志著泛函分析已作為獨立的數學分科誕生。在形成過程中，它的每個重要結果都伴隨著它在其他領域中的許多有價值的應用。

　　泛函分析的重要分支　

　　巴拿赫代數　20世紀30年代初代數環論的重要進展以及它在群表示論上的應用，促使馮·諾伊曼於1935年開始以很大的興趣研究瞭希爾伯特空間H上有界線性算子全體B(H)的(對稱)弱閉子環，獲得（部分與F.J.默裡合作）完整而深入的結果。後人稱這種算子環為馮·諾伊曼代數，也稱W

代數。1941年又出現瞭 И.М.蓋爾范德在巴拿赫代數方面的開創性工作，將算子譜推廣到巴拿赫代數中的元素。特別是他(部分與М.A.奈瑪克等合作)完成系統而精美的 C 代數（雖是特殊的，但重要的巴拿赫代數）理論。代數的方法在這裡充分顯示瞭威力。這些代數理論匯成瞭泛函分析的新分支─巴拿赫代數（包括 W 代數）。它不僅成為建立局部緊群上調和分析以及後來50年代研究局部緊群的線性表示理論的重要工具，而且在研究經典分析某些課題中也取得瞭令人驚異的效果。

　　拓撲線性空間　泛函分析的另一重要分支是拓撲線性空間理論。在弗雷歇引入距離，並用它來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[α，b]上一列函數的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。跨入30年代，泛函分析中大量使用弱收斂、弱拓撲。它們都不能用距離來描述，這就很自然地要把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯系在一起的。拓撲學方法在這裡發揮瞭極重要的作用。勒雷—紹德爾不動點定理是有力的例證之一。從1935年開始，經過十多年時間，這一分支終於形成，它的許多重要結果不僅在泛函分析中有廣泛的應用，也為其他分析學科的深入研究提供瞭基本框架和有力的工具。

　　廣義函數論　泛函分析中具有廣泛應用的又一重要分支。30年代開始，很多數學傢研究微分方程的“弱解”，這自然地導致廣義導(函)數概念。應註意的是點點不連續的函數可能有廣義導數而僅在一點不連續的函數卻可能沒有廣義導數。對一個具體的微分方程，所需的廣義導數可以容納在當時已形成的巴拿赫空間理論的框架之中。然而對物理學傢P.A.M.狄喇克引入的“不存在的”函數δ，通過如下一些操作，例如

(這裡 g是 n次連續可微函數)， 等等，竟能得到正確的結論，這在那時候是使數學傢們費解的。С.Л.索伯列夫(1936)邁出瞭決定性的一步，他除瞭引入瞭廣義導數（後人稱為索伯列夫導數），更重要的是將δ( n)( x- α)視為開集 Ω上無限次可微且具緊支集的函數空間 D( Ω)上的線性泛函，即 這在數學上是完全可以接受的。他用這種方式處理δ、δ n，在雙曲型方程的柯西問題中取得瞭重要成功。但他對這種“函數”所規定的連續性概念尚不能容納在當時形成的巴拿赫空間理論中。隨著拓撲線性空間理論以及調和分析理論的發展，終於在1945年出現瞭 L.施瓦爾茨的分佈論(又稱廣義函數論)，完全解決瞭廣義函數（包括δ－函數）的傅裡葉變換問題，並將這方面已有的種種重要觀念匯成瞭統一和完整的理論。廣義函數論把函數概念提高到一個新階段，它一出現就強有力地推動偏微分方程的發展。例如，50年代末出現L.赫爾曼德爾的葉理論，緊接著60年代又出現瞭偽微分算子理論和傅裡葉算子理論。從此，偏微分方程的研究出現瞭新局面。

　　非線性泛函　上面所談到的一些重要的成果和分支，除其中個別定理（如不動點定理）外，都屬於泛函分析中的線性部分。就泛函分析的起源而言，變分法中所討論的泛函J[y]就已經是非線性的瞭。然而就發展的現狀來說，泛函分析中非線性理論遠沒有達到線性理論部分那樣豐富多采的結果。這很可能是由於線性與非線性問題有本質區別，而線性問題要比非線性問題簡單得多。對分析學各個領域中出現的各種形式的問題，隻要本質上屬於線性的問題，盡管是很復雜的問題，相對的說，人們是易於取得成功的。在豐富成果的基礎上自然容易形成統一而漂亮的線性理論，獲得廣泛的應用。然而，現實中非線性問題遠比線性問題多。由於處理上的困難，不少非線性問題就用線性的近似來代替。隨著認識的深入，線性問題研究到一定階段，人們自然就向非線性問題進軍，這就為泛函分析非線性部分的發展提供瞭前提。圍繞著非線性積分方程、非線性積分微分方程以及各種近似求解法等等，已逐漸形成瞭在應用上具有一定廣泛性的泛函分析的非線性理論，例如近似解理論、單調算子理論、隱函數理論、拓撲度理論、分歧理論等等（見非線性算子、大范圍變分法）。隨著近代微分幾何、拓撲學和大范圍分析的發展，今後非線性泛函分析定將有更廣闊的前景。