泛函微分方程

　　除瞭理想的情形以外，任何具有回饋的動力系統總是存在滯後現象；用傳統的常微分方程去描述物理系統隻是一種近似，而且是有條件的，這就需要考慮帶有各種滯後量的微分方程，諸如微分差分方程，各種具有複雜偏差變元的微分方程，有滯後量的積分微分方程，等等。泛函微分方程是這一類方程的概括和抽象。

　　最早的泛函微分方程來自1750年L.歐拉提出的幾何問題：求一曲線使之與其漸縮線相似。這種曲線便滿足一個特殊的泛函微分方程，此後不斷從各個學科中提提出這類問題。到20世紀40年代為止，主要是研究微分差分方程的解析解。50年代開始探討穩定性理論，1959年H.H.克拉索夫斯基在函數空間之間建立解映射，從而確立瞭滯後型泛函微分方程。70年代初，J.黑爾與A.克魯茲分離出一類廣泛的中立型方程。1978年赫爾與加藤敏夫共同奠立瞭具有無窮滯後的泛函微分方程。以後又有對其他類型的中立型泛函微分方程的研究。

　　給定實數r≥0，區間[-r，0]到n維實（或復）線性空間Rⁿ的連續映射全體記為C([-r，0]，Rⁿ)，簡記為C，C中元素φ的范數取為

則C 為巴拿赫空間且具有一致收斂拓撲。若 t ₀∈ R， A≥0，且 x∈C([ t ₀- r， t ₀+ A]， R ⁿ)，則對任何 t∈[ t ₀， t ₀+ A]，記 x _t( θ)= x( t+ θ)(- r≤ θ≤0)，顯然 x _t∈C。若 D⊆ R×C，給定映射 f： D→ R ⁿ，則

　　　　　　　 (1)

叫做 D上的滯後型泛函微分方程，記為 RFDE( f)。(1)中 為右導數。若存在 t ₀∈ R， A>0 使得

，( t， x _t)∈ D，且當 )時 x( t)滿足(1)，則稱 x( t)為(1)之解。若 t ₀∈ R， φ∈C 給定，且 x( t； t ₀， φ)為(1)之解。則當 時稱 x為過( t ₀， φ)的解。由此可以建立兩種解映射：

及 。而且一般地說解空間是無窮維的。當 r=0時(1)退化為常微分方程，解映射為 ，解空間是有限維的。二者截然不同，通常解的存在惟一性，穩定性，周期解的存在性都不等價。但常微分方程的許多方法可以推廣而用於泛函微分方程，得出大量相應的結果。當然，這種推廣往往是困難的，有時甚至是不可能的。

　　對(1)有如下的存在定理：給定開集D⊆R×C，f：D→Rⁿ是連續的，若(t₀，φ)∈D，則必存在(1)過(t₀，φ)的解x(t，t₀，φ)即在t₀具有初值φ₀。若加上f在D中關於φ滿足李普希茨條件（見常微分方程初值問題），則解存在且惟一。同樣也可得到解關於參數和初始數據的連續依賴性與可微性的相應定理。關於解的開拓，有一個普通的結果：若x為(1)在［t₀－r，b)上的不可開拓解，則對任何緊集K⊂D存在一個t

使得 t ≤ t≤ b時( x， x _t)∉ K。

　　若(1)右端不顯含t，則方程為

　　　　　 (2)

稱之為自治系統。設 f：C→ R ⁿ是連續的，並且是C的有界閉集到 R ⁿ中有界集的映射。記 x( φ)為(2)過(0， φ)且定義於[- r，∞)上的惟一解，則 對任何 t、 s≥0成立。因而定義瞭一個動力系統。集

叫做過 φ的軌線。 。叫做у ( φ)的ω 極限集， 叫做у （ φ）的 α極限集。相應於常微分方程的已知結果，有對(2)的一個解 x，若存在常數 m＞0 使得 t∈[ t ₀- r，∞]時│ x( t)│＜ m，則у ( x ₀)包含於C的緊集之中，若 t≥- r時│ x( t)│＜ m，則ω(у ( x ₀))是非空的連通緊不變集，且 t→∞時 dist( x _t，ω(у ( x ₀)))→0。

　　作為(1)的特殊情形，考慮線性方程

，　　　　　　(3)

＞ h( t)∈ LL ₁(( t ₀，∞)中的局部 L可積函數)， L( t， φ)是 φ的線性泛函。由裡斯定理，存在一個 n× n矩陣函數 η( t， θ)，它是二元可測的，對每個 t當 θ∈[- r，0]時是有界變差的，使 L( t， φ)表示為

任何 t∈ R， φ∈C，設存在函數 m( t)∈ LL ₁(- r，∞)，使｜ L( t， φ)｜≤ m( t)‖ φ‖，那麼可以證明(3)過( t ₀， φ)的解 x( t ₀， φ， h)存在且惟一，並且 x( t ₀， φ，0)關於 φ是線性的， x( t ₀，0， h)關於 h是線性的。由於 L( t， φ)是線性的以及解的惟一性可以推出

易法（見 初等常微分方程）還可把 x( t， φ， h)表示為常數變易公式，即 式中 是方程

的解

U稱為基本解陣， I是 n× n單位陣， U _t(·， s)( θ)= U( t+ θ， s)(- r≤ θ≤0)。

　　若(3)右端不顯含t，則得線性自治系統

　　　　　 (4)

記 x( φ)為過(0， φ)的解，由 定義算子 T( t)：C→C，則映射族｛ T( t)： t≥0｝為C上之強連續半群。群之無窮小生成元由 ，定義。 A的定義域 D( A)在C中稠密且 A之值域 R( A)在C中。 A可由下式給出：

式中 φ在[- r，0)上有連續導數， η( θ)為[- r，0]上的有界變差函數陣。對任何 φ∈C有 。所以，對任意的 φ∈ D( A)有

當然，線性系統的各式擾動問題也有相應的結果。

　　若(2)中h(t)≡0，L(t+ω，φ)=L(t，φ)（ω=常數>0）即周期線性系統，此時弗洛奎特理論的相應推廣存在困難。即使最簡單的純量方程ẏ(t)=(sint)y(t-2π)也可以證明它不存在周期為2π的變換可使之化為自治系統。

　　設(1)滿足f(t，0)≡0，t∈R₊=[0，∞)，

是連續的，這裡 若對任何ε>0和 t ₀≥0，存在 δ(ε， t ₀)>0，使(1)之解 x( t， t ₀， φ)對一切 t≥ t ₀， φ∈ C _δ時有 x _t( t ₀， φ)∈ C _ε，則稱(1)的零解 x=0為穩定的。否則，為不穩定的。若以上的δ 不依賴於 t ₀，則稱為一致穩定的。若對任意的ε>0， t ₀≥0，存在δ ₁( t ₀)和 T(ε， t ₀)使當 且 t＞ t ₀＋ T(ε， t ₀)時

則稱(1)的零解為漸近穩定的。若δ ₁和 T不依賴於 t ₀，則稱為一致漸近穩定的。對線性自治系統，可以分析特征根的分佈並且應用第一近似理論得出非常類似於常微分方程的穩定性定理。行之有效的李亞普諾夫第二方法（見 常微分方程運動穩定性理論）則有兩種格式。其一是所采用的 V函數仍為 R ⁿ→ R（或 R× R ⁿ→ R）的純量函數，但需要拉祖米欣條件：對正定函數 V( t， x)， x∈ R ⁿ，設(1)滿足 V（ σ， x( σ))≤ V( t， x( t))( t≥ t ₀， t- r≤ σ≤ t）的解 x( t)(或包含解的曲線族)的集合 S _R非空，全導數 在 S _R上為常負的，則可保證零解是穩定的。若方程右端含有帶滯後量的導數項（即對中立型方程），僅有上述的拉祖米欣條件還不能判定穩定性。可引進條件：當 V( σ， x( σ))≤ N( t)，有｜ ẋ( σ)｜≤ k( N( t))， t- r≤ σ≤ t，其中函數 N( t)是正值函數， k： R ⁺→ R ⁺連續且嚴格增加， k(0)=0；再加上拉祖米欣條件，得到穩定性判定方法。這種類型的結果統稱拉祖米欣型定理。其二是采用李亞普諾夫泛函， ，令

式中 x _{t + h}( t， φ)是(1)過( t， φ)的解，設(1)中 f： R×C→ R ⁿ使 R×(C的有界子集)映入 R ⁿ之有界集、 u、 v、 w： R ₊→ R ₊是連續非減函數， u( s)、 v( s)當 s＞0時是正的，且 u(0)= v(0)=0。若存在連續泛函 V： R ₊×C→ R使得

，

則(1)的零解一致穩定。若加上 s＞0時 w( s)>0，則零解一致漸近穩定。這類結果在國內外有大量推廣。

　　20世紀70年代有兩個新發展。一是r取-∞，則同一個(1)式表示具無窮滯後系統，可以得出與上述內容大體平行的一些結果。二是中立型方程，設Ω⊆R×C為開集，f：Ω→Rⁿ，D：Ω→Rⁿ給定且連續。D在0處是“原子的”，則

　　　　　 (5)

叫做中立型泛函微分方程( NFDE( D， f))， D叫做(5)的差分算子。當 D關於 φ為線性時， 所謂在0處“原子的”，是指det[ η( t，0)- η( t，0 ^_)]≠0。若 D為非線性的，則條件加之於 D _φ ψ（弗雷歇導數）。對(5)的基本理論與穩定性理論已有一系列結果。

　　

參考書目

　J.Hale，Theory of Functional Differential Equations，Springer-Verlag，New York，1977.