範疇

　　從數學的各個領域中概括出來的一種高度抽象的數學系統。數學的各個領域都有各自的研究物件。例如，集合論研究集合與映射；群論研究群與群同態；拓撲學研究拓撲空間與連續映射；等等。在20世紀中期，數學傢們認為有必要將各個領域中的研究物件各自合在一起成為一個總體，使之各個總體都是一種數學系統。這就是範疇思想。於是，所有的集合與映射組成集合的範疇S；所有的群與群同態組成群的範疇G；所有的拓撲撲空間與連續映射組成拓撲空間的范疇T；等等。此外，在范疇與范疇之間往往存在著內在的聯系與變換。例如，任一個群G都可以通過交換化手續而變成一個交換群(以C(G)表示G的換位子群，則G/C(G)是一個變換群)，因此交換化手續就把群范疇變成交換群的范疇AG。這種內在的聯系與變換，提供瞭所謂函子的概念。

　　范疇與函子的理論是由美國數學傢S.艾倫伯格與S.麥克萊恩於1945年正式提出的。這理論一經提出就受到普遍的重視而迅速發展，不斷深入，且為數學傢們引進到數學的許多分支中。例如，R.戈德門特於1958年引進到拓撲學中；C.埃雷斯曼於1958年引進到微分幾何學中；A.格羅騰迪克、J.迪厄多內於1960年引進到代數幾何中；等等。事實上，在數學的許多分支中都有范疇與函子理論的重要應用與反映。

　　定義和例子　　范疇的定義是對集合范疇S、群范疇G、拓撲空間的范疇T的一些共同性質的歸納。

　　一個范疇C，是由以下的三種成員組成的：

　　C1　一類對象A，B，C，…。

　　C2　對每兩個對象(相同或相異)A與B，有一個集合C(A，B)與之對應，C(A，B)中元素σ稱為態射(morphism)，A是σ的定義域，B是σ的變區。

　　C3　一種乘法，使得當σ∈C(A，B)，τ∈C(B，C)時，乘積τσ∈C(A，C)。它們都應該服從以下的三條公理：

　　A1　除非A＝A′而且B=B′，C(A，B)∩C(A′，B′)總是空集。

　　A2　在σ∈C(A，B)，τ∈C(B，C)，ρ∈C(C，D)時，總有結合律(ρτ)σ=ρ(τσ)。

　　A3　對任何A，必有一個1_A∈C(A，A)，稱為恒等態射，使得對任何σ∈C(A，B)，恒有σ1_A=σ=1_Bσ。

　　對於σ∈C(A，B)，若有σ′∈C(B，A)，使σσ′=1_A，而且σ′σ=1_A，則σ稱為一個同構態射，這時A與B稱為同構的。同構顯然是一種等價關系，所以，同構的對象稱為本質相等的。

　　例如，在范疇S中，對象類是所有的集合之類，而S(A，B)是由集合A到B的所有映射之集，在σ∈S(A，B)，τ∈S(B，C)，α∈A時，(τσ)(α)=τ(σ(α))∈C，即τσ∈S(A，C)。在范疇AG中，對象是交換群，AG(A，B)是由交換群A到B的所有群同態之集。再若以所有的自由交換群之類為對象類，以群同態為態射，則得自由交換群的范疇AFG。從這些例子看來，范疇中的態射可以是映射，甚至可以是同態（因而稱之為態射）。但是，一般地，一個范疇的態射卻可以根本不是映射。例如：①取N為自然數集。若α│b，則定義N(α，b)為一個單元集合，其惟一的元素是一個符號φ

，並令 ；若 α b，則 N（ α， b）為空集。於是， N是一個以所有的自然數為對象，以 N( α， b)為態射集的范疇。②取 R為全體實數的集合。在 α≤ b時，令 R( α， b)是一個以符號 ψ 為惟一元素的單元集合；否則讓 R( α， b)為空集。則全體實數連同所有的 R( α， b)是一個范疇。③若范疇 C隻有一個對象 M，則 C( M， M)就是一個么半群(即有單位元的半群)，而 1 _M是這個么半群的單位元。

　　交換圖　任意范疇C中的每一個σ∈C(A，B)都可用一個箭頭來表示成σ：A→B，或

， A是 σ的源， B是 σ的靶，用箭頭的記號，所以態射又可稱之為箭頭。態射與態射之間的關系往往可以用交換圖 來表示。例如，在已聲明可交換的條件下依次表示 ρ= τ σ； ρ α= ρ( τ σ)= β σ=( ρ τ) σ；與彐 ρ，使 ρ σ＝ τ。交換圖中的虛箭頭常用來代表未知的或待定的態射。

　　泛性質　它是一種非常重要的范疇概念，常被用來提出或構造出許多新的概念。例如，設Г 是一個非空集合，對每一個λ∈Г 取一個集合A_λ，於是，由集合論，所有這些A_λ之積

也是一個集合，它是由所有如α＝{α _λ|α _λ∈ A _λ， λ∈Г}這樣的集合所組成的。但是這種積的定義卻無法照樣引用於一般的范疇，因為在一般的范疇中並不要求其對象是集合，更未要求有“ α∈ A”這樣的概念。因此，若要想將積的概念引用於一般的范疇，則必須應用范疇的語言。首先註意到，若 則對每一個 λ∈Г，都有∏ _λ： A→ A _λ使當 α={ α _λ}時 而且對任何集合 B與 σ _λ： B→ A _λ，必能找到惟一的 f： B→ A，使對任何 λ∈Г，恒有 ，這隻要讓 即可。這個性質可用來作為一般的范疇中一集對象的積的定義：范疇 C中一集對象{ A _λ｜ λ∈Г}的積∏ A _λ是一個對象 A及一集態射 {∏ _λ∈ C( A， A _λ)｜ λ∈Г}，它對任何對象 B及任何態射 σ _λ： B→ A _λ恒有惟一的 f： B→ A使 ， λ∈Г，使有交換圖(如圖 )。這裡的"對任何態射 σ _λ，恒有惟一的 f，使有交換圖"一語，就是泛性質的意義。

　　按照這個定義，在前面的例①的范疇N中，n個自然數α₁，α₂，…，α_n的積(這裡是指范疇N中這n個對象的積)是它們的最大公因數。在例②的范疇R中，實數集 {α_λ}的積是這個集的下確界。

　　在任意的范疇C中，如果一集對象 {A_λ} 有積（A，

那麼它們隻能有一個積（在同構的范圍內），由泛性質所定義的任何概念隻要存在，都具有唯一性。

　　逆范疇與對偶原則　對於以A，B，C，…為對象的范疇C，可以作一個新的范疇C⁰，它仍以A，B，C，…為對象，但為瞭區別起見，在作為C⁰的對象時，A改寫成A⁰，再取C⁰(A⁰，B⁰)＝C(B，A)，並當σ⁰∈C⁰(A⁰，B⁰)，τ⁰∈C⁰(B⁰，C⁰)時，定義τ⁰σ⁰=(στ)⁰，這樣所作的范疇C⁰稱為C的逆范疇。實際上它們有相同的對象，相同的態射，隻是把態射的源與靶恰好相互轉換一下而已。

　　若S是一句對任何范疇都有意義的陳述語（例如，說明一個概念，提出一條命題，肯定一個規律，等等），把S引用到范疇C，得到S(C)，再引用到C⁰得到S(C⁰)，則在把S(C⁰)中各態射的源與靶對調後，就變成（或翻譯成）一句可引用於C的陳述語S⁰(C)。這個S⁰(C)就是S(C)的對偶陳述語。如果S(C)是一條命題，那麼S⁰(C)是其對偶命題；如果S(C)是說明一個概念，那麼S⁰(C)是說明其對偶概念；如果S(C)是一條對任何C都已證明瞭的定理，那麼S⁰(C)是其對偶定理而且不需再證，這就是對偶原則。例如，在范疇C中，若σ₁τ＝σ₂τ時必有σ₁＝σ₂，則τ稱為一個滿態射；若τ_ρ1＝τ_ρ2時必有_ρ1＝_ρ2，則τ稱為一個單態射。於是，在C⁰中，τ⁰是滿態射的條件為：當

時必有 ，把這個條件翻譯成 C中的條件，就是 τ _{ρ 1}= τ _{ρ 2}時必然 _{ρ 1}= _{ρ 2}，這恰好是單態射的條件。因此，單態射和滿態射是相互對偶的概念。

　　在用一個交換圖來表達一句陳述語S時，隻要把這個交換圖中所有的箭頭都調轉方向，並將“單”改成“滿”，“滿”改成“單”，這樣所得的交換圖就表達S的對偶陳述語S⁰。例如，將交換圖中所有箭頭都調轉方向，就得到一集對象 {A_λ｜λ∈Г} 的上積

的定義：一集對象{ A _λ}的上積是一個對象C與一集態射 η _λ： A _λ→C，使有泛性質：即，對任何 τ _λ： A _λ→ D，恒有惟一的 g：C→ D使 g η _λ= τ _λ，∀ λ∈Г。不難證明，在范疇 S中，一些集合 A _λ( λ∈Г)的和集 （把 A _λ都看成兩兩不相交的集合，再取其並集）就是諸 A _λ的上積。

　　核與上核是另一對非常重要的對偶概念。在定義一個態射的核以前，先需定義零對象與零態射。若對於任何對象A與B集合C(A，0)與C(0，B)都是單元集合，則0稱為范疇C中的零對象（因此用“0”這個記號）而C(A，0)與C(0，B)中的惟一元素分別記為

與 ，把 、 以及它們的乘積 都稱為零態射，也用“0”這個記號來表示。例如在群范疇 G中，零對象是隻含一個元素的群，而當 g與 H是兩個群時， 0 _{G H}是由 g映射成 H的單位元的同態。

　　用泛性質定義態射σ∈C(A，B)的核。設η：C→A，使得：①ση=0，②對任何η′∈C(C′，A)，隻要ση′=0，就必有惟一的f∈C(C′，C)使ηf=η′，則(C，η)稱為態射σ的核，記成Kerσ=(C，η)，有時可把C省去，得η=Kerσ，因給定瞭η，其源自然是確定的。這個泛性質可由圖

表示。

　　對偶地，態射σ∈C(A，B)的上核Cokσ是一個對象D及態射π：B→D，使得：①πσ=0，②對任何π′：B→D′，隻要π′σ=0，必有惟一的g：D→D′，使gπ=π′，如圖

。

　　容易證明，若η=Kerσ，則η是單態射。其對偶定理是，若π＝Cokσ，則π是滿態射。例如，在群范疇G內，σ∈G(A，B)是由群A到B的一個群同態，其核C是同態σ的核，η是嵌入映射，若(D，π)=Cokσ，則D＝B/N，這裡N是B中包含Imσ的最小的正規子群，而π是由B到B/N的滿同態(Imσ表σ的像)。

　　加法范疇與阿貝爾范疇　假定范疇C有零對象因而有零態射，如果：①任何有限個對象都有積；②每一個態射集C(A，B)都是交換群，並且當σ，τ∈C(A，B)，f∈C(C，A)，g∈C(B，D)時，有分配律(σ+τ)f=σf+τf，g(σ+τ)=gσ+gτ，那麼C稱為一個加法范疇。

　　若C是一個加法范疇，而且①每一個態射都有核與上核；②每一個單（滿）態射都是其上核（核）的核（上核）；③每一個態射σ都可分解成一個單態射η與一個滿態射π之積，σ=ηπ，則C稱為一個阿貝爾范疇。

　　交換群的范疇Ag是一個阿貝爾范疇。如果A與B都是交換群，而σ與τ都是由A到B的群同態，那麼在α∈A時，定義(σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α)。逐條驗證，即知Ag滿足阿貝爾范疇的所有條件。自由交換群所組成的范疇是一個加法范疇，但不是阿貝爾范疇，因為可以找到單同態不是其上核的核。

　　函子　由范疇C到范疇C′的一個函子F：C→C′是一種雙重意義的對應，一方面，它對C中的每一個對象A取C′中的一個對象F(A)與之對應，而另一方面，對於任何σ∈C(A，B)有一個F(σ)∈C′(F(A)，F(B))與之對應，使

從定義即可看出，函子事實上是范疇的同態。例如，取 G為群范疇， A g為交換群的范疇， F為交換化手續，則對任何群 g， F( g)是一個交換群，同時，任何群同態 σ： g ₁→ g ₂必將 G ₁的換位子群C( g ₁) 的元素變成 C( g ₂) 中的元素，所以， σ可引出 g ₁/C( g ₁)到 g ₂/C( g ₂)的一個群同態 F( σ)。

　　若C與C′都是加法范疇，而函子F：C→C′給出交換群C(A，B)到交換群C′(F(A)，F(B))的一個同態，則F稱為加法函子。

　　假定F與F′都是由C到C′的函子，若有一個規則t，使對C中任何對象A有一個態射t_A∈C′(F(A)，F′(A))，對任何σ∈C(A，B)（圖

），則 t稱為一個自然變換。自然變換把 F的性質變成 F′的相應性質。特別，若對所有的 A、 t _A都是同構，則 F與 F′稱為自然等價。

　　對於范疇C與C′，若有函子F：C→C′，與g：C′→D，使GF與C的恒等函子（即讓對象與態射都不變）自然等價，FG與C′的恒等函子自然等價，則C與C′是相互等價的范疇，等價的范疇有相同的范疇性質。

　　以上所述的函子嚴格地說，應該稱為共變函子。由范疇C到范疇D的逆范疇D⁰的函子F：C→D⁰，稱為由C到D的逆變函子，在這樣的函子中，若σ∈C(A，B)，則F(σ)∈D(F(B)，F(A))，而且F(στ)=F(τ)F(σ)。舉一個常見的例子，在范疇S中，固定一個集合C，對於任一集合A，定義F(A)=S(A，C)，任取σ∈S(A，B)，在f∈S(B，C)時，定義F(σ)(f)=fσ，如圖

，即 F( σ)∈ S( F( B)， F( A))，所以 F是 S到它自身的一個逆變函子。

　　

參考書目

　B.Mitchell，Theory of categories，Academic Press，New York，1965.