描述隨機點分佈的隨機過程。很多隨機現象發生的時刻、地點、狀態等往往可以用某一空間上的點來表示。例如,服務臺前顧客的到來時刻,真空管陰極電子的發射時刻,可表為實軸上的點。又如,天空中某一區域內星體的分佈,核醫療中放射性示蹤物質在人體器官的各處出現,不同能級地震的發生,都可用二維以上空間的點表示。點過程就是描述這類現象的理想化的數學模型。它在隨機服務系統、交通運輸、物理學和地球物理學、生態學、神經生理學、傳染病學、資訊傳輸、核醫療學等很多方面都有應用。
20世紀60年代以前,點過程的研究著重於一維情形,即實軸上的點過程,方法是比較初等的,內容多為考慮泊松過程的種種推廣。以後逐漸擴充到多維及更一般的空間,並與迅速發展的隨機測度論及鞅論相結合,無論在內容或方法方面都有瞭根本性的進展。
一維點過程 在點過程的研究中,一維點過程在理論與應用上都占有重要的位置,它的統計規律可以通過三種不同的方式來描述:①點數性質:設N[s,t)表示落在區間[s,t)上隨機點的數目,N(A)表示落在集合A上隨機點的數目,令B表示實軸上的波萊爾域(見概率分佈,則(N(A),A∈B)是定義在B上的隨機測度,這時它隻取非負整數值,稱為隨機計數測度。若把開始觀測的時刻記為t0,則
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一般點過程的數學模型 設E為可分完備距離空間(它是普通實空間的推廣,見度量空間),E為K上由全體開集產生的σ域。B⊂E是全體有界可測集。μ為定義於(K,E)上的測度,如果當B∈B時有μ(B)<
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簡單性、有序性和無後效性 局部有限計數測度μ稱為簡單的,如果對每一x∈K有μ({x})≤1,以ns表其全體。點過程ξ稱為簡單的,Pξ(如果ns)=1;稱為有序的,如果對任一ε >0,存在K的分割:
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點過程的變換 點過程經不同的變換,可以產生新的點過程或隨機測度。主要的有:①一維點過程時間軸的變換:例如非齊次泊松過程(N(t),t≥0)如具有強度函數λ(t),令
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無窮可分點過程 點過程的疊加的逆問題是點過程的分解。設ξ為一點過程,如對任一正整數n存在相互獨立相同分佈的點過程ξ1,ξ2,…,ξn,使ξ與
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隨機測度的收斂與極限問題 相應於測度序列的各種收斂性,可以定義隨機測度(隨機點過程)的弱收斂、強收斂、淡收斂、依分佈收斂等(見概率論中的收斂),並可研究其相互關系,從而進一步研究在一定條件下隨機測度序列收斂到某個特殊隨機測度的問題。這一類問題與無窮可分點過程理論密切相關。一個有趣的結果是:相互獨立的隨機點過程的疊加,若滿足所謂一致稀疏條件,則疊加過程收斂於泊松過程。它與中心極限定理中獨立隨機變量的標準化部分和收斂於正態分佈的結果相似。類似於特征函數與母函數(見概率分佈)在研究隨機變量的分佈及其極限理論中的作用,對於點過程,也可以定義概率母泛函與拉普拉斯泛函,作為研究其極限問題的重要工具。
點過程與隨機幾何 60年代後,由於自然科學和其他實際問題的需要,產生瞭大量與點、線、面等幾何元素的隨機分佈有關的概率問題,它們屬於隨機幾何的范疇。例如,研究細胞核中成對染色體的相對位置,需要求出在兩同心圓上均勻分佈的兩隨機點距離的概率分佈,由研究聲波反射而提出的求平均路長問題等。佈豐的投針問題(見概率)可能是最早的這類問題之一,它求出瞭隨機拋一枚針與一組等距離的平行線不相交的概率,從而可以用實驗的方法求得圓周率π的近似值。點過程及其進一步的發展還與隨機幾何相聯系,產生瞭線過程、面過程、超平面過程、隨機分叉樹等模型,它們又可以經過一定的變換,變為某一流形上的點過程。例如平面上的一條直線,它以與原點的距離及與坐標軸的交角為參數,可以對應柱面上一點,因而平面上的隨機線過程可以表為柱面上的隨機點過程。
參考書目
P.A.W.Lewis,Stochastic Point Processes:Stochastical Analysis,Theory and Applications,John Wiley &Sons,New York,1972.
O.Kallenbery,Random Measures,Academic Press,London,1976.
D.L.斯奈德著,梁之舜、鄧永錄譯:《隨機點過程》,人民教育出版社,北京,1982。(D.L.Snyder,Random Point Processes,John Wiley &Sons,New York,1975.)