分析實驗資料的一種重要的數理統計學方法。其要旨是對樣本觀測值的總變差平方和進行適當的分解，以判明實驗中各因素影響的有無及其大小。這是由R.A.費希爾1923年首創的。設Y1，Y2，…，Yn為n個觀測值，

為平均值，稱 為 Y 1， Y 2，…， Y n的變差平方和，簡稱總平方和，它反映觀測值在平均值上下波動的大小。當觀測值受到多種因素的影響時，每一因素都對平方和的值有影響，若能從平方和中分解出反映某一因素影響的那一部分(也用平方和的形式表示)，則由這部分的大小就可以推斷該因素的影響是否顯著。但是，若試驗未經適當的設計，則所產生的數據難以進行平方和分解與相應的統計推斷。因此方差分析和 實驗設計法是密切相關的，不同的實驗設計相應於不同的方差分析形式，而方差分析理論對實驗設計的選擇又有指導作用。例如，進行一項作物品種與肥料的農業試驗，品種和肥料就是所考慮的兩個不同的因素，而各因素的不同取“值”，稱為該因素的水平。假定有 α個品種 A 1、…、 Aα與 b種肥料 B 1、…、 B b供選取，在水平 A i和 B j的組合條件下的試驗稱為一個處理。在這試驗中，全部可能的處理數目共有 α b個，即為因素 A（品種）與因素 B（肥料）的各自水平數的乘積。設每個處理種 r塊試驗田，以 Y ijk)記用第i個品種、第 j種肥料在第 k個重復試驗的地塊上所得試驗的畝產量，對不同的(i， j， k)， Y ijk)之值各不相同，它的總變差平方和為

( 是全部 Y ijk)的平均值)，它反映瞭品種、肥料以及隨機誤差(它包含土壤的不均勻性等大量的不可控因素)的影響，通常又稱總平方和。在這種兩因素試驗情況下總平方和可以分解為四部分

，　 (1)

式中

( Y ijk)- Y ij.) 2，而 Y 為固定i對一切 j、 k求 Y ijk)的平均值， Y. j.與 Y ij.有類似的含義。 SS A和 SS B分別反映因素 A和 B各自對 SS T的貢獻，分別稱為因素 A和 B的主效應平方和。 SS AB反映由因素 A、 B的相互影響而對 SS T的貢獻，稱為 A、 B的交互效應平方和。 SS e反映隨機誤差的影響，通常稱誤差平方和。每項平方和都對應著一個“自由度”，就上例而言， SS A、 SS B、 SS AB、 SS e的自由度分別為 α-1、 b-1、( α-1)( b-1)和 α b( r-1)。分別記之為 f A、 f A、 f e和 f e。總平方和 SS T的自由度 f T定義為總的觀測次數減去1，即 α b r-1，它恰好是 f A、 f A、 f e和 f e之和，即有類似於(1)的分解式

　　　　　　(2)

平方和除以各自的自由度稱為均方，記為 M S，例如 S S A/(α-1)，等等。諸因素效應的大小，用它的均方與誤差均方的比值(記為 F)的大小來衡量，例如， F A= M S A/ M S e，反映因素 A的主效應對畝產的影響； F B＝ M S B/ M S e反映因素 B的主效應對畝產的影響；

方差分析表 則反映 A與 B交互效應對畝產的影響。綜上結果，可以列成一個方差分析表（表 方差分析表 ）。

　　前述例子的模型可寫為

Yijk)=μ＋αi＋βj＋γij＋εijk)，　 　(3)

式中i=1，…， α； j=1，…， b； k=1，…， r； μ稱總平均； α i、 β j分別稱品種( A)與肥料( B)的主效應，γ ij稱 A、 B的交互效應，並且滿足約束條件：

。ε ijk)是隨機誤差。這是一個以 μ、 α i、 β j及γ ij(i=1，…， α； j=1，…， b)為參數的線性模型(見 線性統計模型)。“品種無主效應”這個假設，可表為 H A： α i=0，i=1，…， α，這是一個線性假設。在隨機誤差ε ijk)獨立、等方差及正態假定下，可用似然比（見 假設檢驗）方法檢驗這個假設，所得檢驗統計量正是上表中的 F A= M S A/ M S e，它是自由度為 f A與 f e的 F統計量。類似地可檢驗 和

　　在檢驗假設被拒絕後，就有估計效應及對之排序等問題，解決這種問題的工具是線性模型的估計理論以及多重比較的方法。

　　上例是一個典型的兩種方式分組的方差分析問題，所謂“兩種方式”即指按品種和肥料兩個因素將試驗數據分成αb組。一般地有多種方式分組問題。上例中涉及的品種等都是特定的，因此模型(3)中的效應看作固定參數，故稱固定效應模型。如果討論“品種對產量的影響”這種抽象形式的問題，這時設想有一個無限品種的集合，試驗中所涉及的α個品種，隻是作為全體品種的代表從品種集合中隨機抽出的，這時模型(3)中效應不能看成一個參數而應看作隨機變量。若所有效應均為隨機變量，則稱隨機效應模型。若模型中兼有固定和隨機兩種效應，則稱混合效應模型。一般，隨機效應模型的方差分析在形式上與固定效應大體一致，但在作F檢驗(見假設檢驗)時有一些差別。

　　方差分析的思想也用於回歸分析的假設檢驗。若在方差分析模型中有未加控制的系統性因素出現，則得到協方差分析模型。如上例，根據在生長期間各試驗地塊蟲害的輕重程度，施用不同量的農藥，記X為農藥用量，它可能是影響產量的系統因素，如模型中不加考慮，必將降低分析精度。考慮的方法是在模型(3)中加進一項反映該因素影響的量δXijk)，即

，

式中 X ijk)為第i個品種、第 j種肥料、第 k個重復地塊上的使用農藥量。δ 為待估的回歸系數。上述模型仍是一個線性模型，隻不過模型中有連續取值的回歸變量 X和離散取值的方差變量 A和 B。因此，協方差分析可看成回歸分析與方差分析的結合。

　　

參考書目

　H.cheffe，The Analysis of variance，John Wiley &Sons，New York，1959.