數理邏輯中遞迴論的一部分。它的中心論題是用遞迴論為工具給出數集(問題集)或函數集的複雜性的某種排序。
因為所謂算術集恰是自然數集N中由一階公式定義的自然數集,而解析集則是由二階公式定義的自然數集。算術集構成解析集類的一個更易於定義的子類。同時,由於所有的遞迴集都是算術集,如把它們看成有同樣複雜的可定義性並用作討論的起點,這將是自然的。
同樣的,一一個遞歸可枚舉集A恰為{x|彐yRxy},其中R為一般遞歸謂詞,所以一切遞歸可枚舉集也是算術的,而由於一階公式對於邏輯運算¬和量詞彐(自然數變元)具有封閉性,所以任一算術集的補和射影依然是算術的,如此等等。在使用適當約定和稍作引伸之後,即可得到度量集合(數的或問題的)復雜性的一種排序稱之為算術分層。類似地可以建立解析分層,從而S.C.克林就利用遞歸論成功地建立瞭分層理論及其相應的推廣。
因為集合或函數均可用謂詞來表述,故以下的討論將就謂詞而言且將沿用遞歸函數中的符號和概念。
設α,b,с,…,x,y,z;αi,bi,сi,…,xi,yi,zi(i=1,2,…)為自然數集N上的變元(0型變元),α,β,…,α1,α2,…ξ,η,…為一元數論函數集NN上的變元(1型變元)。若具有0型和1型兩種變元的謂詞P(α1,α2,…,αm,α1,α2,…,αn)(m,n≥0,m+n>0)由一般遞歸模式出發,經過有限次使用邏輯運算:→,∨,∧,¬ 和量詞運算彐x,∀x,彐ξ,∀ξ,而得到,則稱謂詞P是解析謂詞。特別地,當P未用函數量詞彐ξ,∀ξ時,則稱之為算術謂詞。
由於每一個一階公式都有等價的前束范式,故可隻限於討論前束范式的情形並簡稱公式為謂詞,把序列(α1,α2,…,αm,α1,α2,…,αn)記成α,並將一前束范式的前束詞中,相同的一串量詞收縮為一個如
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這樣,一謂詞P是算術的即是可表成下列形式之一:
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把可以用兩種形式
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例如,易見
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又如,
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在k≥1的情形,恒存在一個枚舉類
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分層定理 對每一k≥0,都存在一個
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所以,這就得到瞭一個方便的分層(1)來給算術謂詞(算術集)分類。這個分層稱為算術分層。
完備形式定理 對於每一個k≥1,都存在一個關於
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當P已經用到1型變元的量詞(函數量詞)則將增加定義的復雜性,從而引進解析分層。
關於1型變元亦有:前束詞中一串同類量詞可收縮成一個;對任一算術謂詞R,存在一個原始遞歸謂詞S使有彐yS(y,α)可表為彐α彐xS(α(x),α)即為 彐αR(α,α)等事實可以利用。故可將全體解析謂詞依以下形式分類:
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設C為一元函數集(⊂NN),這時我們可以把所考慮的謂詞P(α1,α2,…,αm,α1,α2,…,αn)推廣為算術於和解析於C中任意有限多個函數的謂詞。這時所得到的相應的分層,分別稱為C-算術分層和C-解析分層,並且分別記作
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關於集合NN算術分層和NN解析分層分別相應於無理數空間中的有限波萊爾集合射影集。J.W.艾迪生稱之為古典描述集合論。與之相應的,關於集合的(即C=ø時)算術分層和解析分層的理論便稱之為能行描述集合論。
如果隻考慮自然數謂詞(即在P中,m=0的情形),則可定義
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克林應用具有任意k型變元(k=0,1,2,…)的一般遞歸函數的理論,對具有任意型變元的謂詞建立瞭分層理論,使得原來的分層理論得到瞭進一步的推廣。
如果把上述的α,b,с,…,看成是集合變元(即α,b,с,…是表示集合的變元)即可得到萊維的分層。