17世紀以來在微積分學發展的基礎上形成的數學一大分支。它曾和幾何學、代數學並列為數學中的三個主要分支，並從18世紀以來相對獨立地得到很大的發展，曾經被認為是數學的一個最大分支。

　　分析學研究的內容　分析學包括哪些內容是隨著數學的發展過程而不斷變動的。17～18世紀的分析學，可以說是以無窮小分析為主，即以微積分學、無窮級數為主，還包括經典的變分法、微分方程、積分方程和複變變函數的一些基本內容。19世紀以來，數學各分支日趨專業化，促使分析學的各分支相對獨立地深入發展。微積分學和無窮級數的理論由於極限理論的發展，在19世紀得到瞭嚴密化，函數論特別是單復變函數論的內容得到瞭極大的豐富而趨於完整，這時的分析學，函數論占據瞭獨特的地位，雖然變分法、微分方程、積分方程也都有相當大的發展。到瞭20世紀，數學發展的一個特點就是在各分支深入發展的基礎上，探求普遍性和統一性。泛函分析的發展是由於變分法和積分方程的一般理論的需求。近代數學發展的又一特點，是各分支的相互滲透與綜合，不僅體現在泛函分析的發展上還特別體現在近代微分方程的發展上。隨著數學的其他分支如幾何學、拓撲學、代數學、概率論的發展以及分析學中的泛函分析、函數論等的發展，微分方程的理論工具日益豐富；又由於近代電子計算機的飛速發展，為它提供瞭強大的計算工具。這樣20世紀的微分方程不僅成為分析學的一個最大分支，而事實上已發展到可以並列於概率論與數理統計學這樣重要分支的地位。即從數學分類而論，微分方程應屬於分析學；就其內容的豐富程度而論，它已能並列於概率論與數理統計而成為數學的一個獨立分支。實際上早期的概率論也屬於分析學，由於它和數理統計學的緊密結合，已發展成為數學的一大分支。至於一開始就和無窮小分析結合在一起的數值分析，由於近代計算數學的興起，有瞭極大的發展，在分析學中雖仍保留著函數逼近論的內容，但數值分析已經屬於計算數學的范圍。另外，近代發展的大范圍變分法、遍歷理論、位勢論和流形上的分析等，雖屬於分析學的范圍，但都是數學其他分支的相互綜合。事實上，分析學的許多分支如多復變函數論、群上調和分析、非線性泛函分析等的近代發展，也都體現瞭數學各分支的相互滲透與綜合。目前有關分析學的新的學科分支名稱如非線性分析、應用分析等，已相當普遍地被采用，盡管它們確切包含哪些內容並沒有定論。由此可見一個學科分支的內容並不是一成不變的，今後分析學的內容仍將隨著數學的發展而不斷有所改變。

　　分析學發展的特點　分析學的發展從一開始就與力學、物理學和幾何學的發展緊密聯系著。根據微積分學發展的歷史，可以知道它的許多基本概念是和力學、物理學以及幾何學的具體問題相聯系的，都有著實際的背景，並受到實際需要的推動。例如，已知物體運動的路程s是時間t的函數s(t)，要求它在某一時刻t的瞬時速度v(t)，這是求導數的問題，正是導數概念的由來之一；反之，已知瞬時速度v(t)和路程s的某一初值要求運動路程s(t)，這是求積分的問題。物理上這個簡單問題，就形成瞭微積分的互逆關系(見微積分學、微分學、積分學)。17世紀I.牛頓、G.W.萊佈尼茨完成瞭微積分學的創建工作，與此同時相應的力學和物理學也得到瞭發展。幾何學的發展也同樣說明問題，微分幾何在很大程度上可以認為是微積分本身問題的自然產物，而它的近代發展正方興未艾。在17世紀，求曲線的切線及其斜率是一個對於實際應用有重大意義的幾何問題。在透鏡的設計中和考慮運動物體在它的運動軌跡曲線上一點的運動方向時，都需要知道曲線上任一點的切線。為求光線通過透鏡的道路，就需知道光線的入射角，即應知道透鏡鏡面截線在入射點處的法線，它是鏡面曲線切線的垂線。一般來講，物體在其運動軌跡曲線上一點的運動方向本身就是該點的切線方向。值得註意的是這個求曲線切線斜率的純幾何問題的研究，正好是微積分學中導數概念的由來之一。可以引述牛頓的老師I.巴羅求曲線的切線斜率的典型方法，即他利用瞭所謂特征三角形(其後就被稱為微分三角形)的方法。如圖1

所示，如果已知曲線上一點 P( x 0， y 0)處的切線交 x軸於點 N，則該切線的斜率等於 M P/ N M，這裡 P M垂直於 x軸。在曲線上另外取一點 如圖所示，過 P *作 x軸的垂線 P * M *，交切線於 Q *，過 P軸的直線，交 P M *於 R *，則三角形 PR * Q *與三角形 N M P相似，從而 。從圖形上可以看出，當 P *沿曲線接近於 P點時， Q *很快與 P *重合。例如，在圖中取 P點的鄰近點 時，垂線 P′ M′與切線的交點 Q可以看作與 P′重合，曲線弧 可以看作與切線段 PQ重合，於是三角形 PRQ就稱為特征三角形。巴羅認為所求的斜率即為 RQ/PR= b′/ α′。實際上這裡的 α′與 b′並非常量，隻有當 P′點無限接近於 P點時，比值 b′/ α′的極限存在時，極限值才是所求切線的斜率。事實上，當巴羅運用他的特征三角形求切線的斜率時，已經隱含瞭這樣一個無限接近的極限過程，隻是當時他還不能正確運用這一極限過程。例如，他在求拋物線 y 2= P x在一點 P( x 0， y 0)的切線斜率時是這樣推導的：

α′)，後一式兩端展開得

利用前一式兩端減去一個等量，即得

到瞭這一步後，巴羅當時的論點認為， b′ 2比起 b′是可以略去不計的，從而就得到 即得所求切線的斜率是 不嚴密的推導卻得到瞭正確的結果。巴羅用特征三角形求切線斜率的思想，實際上就是17、18世紀導數概念的由來，也是17、18世紀微分幾何學把微分看作極小的幾何常量來運用的由來。他的主要著作《幾何學講義》是對微積分學的一個重要貢獻。牛頓首先把微積分學稱為分析學，獨立於幾何學。他在1669年把他自己在微積分學方面的主要工作寫成一篇題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子，把無窮級數也納入瞭分析學的范圍。

　　微積分的萌芽思想，還可以追溯得更遠。中國古代的數學傢劉徽（公元3世紀）的割圓術和其後祖沖之關於圓周率的工作是值得提出的。劉徽首先肯定圓內接正多邊形的面積小於圓的面積，當正多邊形的邊數如圖2

所示增加一倍時，新的內接正多邊形的面積就增大。這從圖形上看是顯然的。他把原來的正多邊形的每一條邊，例如邊 RQ所對的圓孤 的中點 P定下來，然後把 P點和該邊的兩個端點 R和 Q連接起來，得到新的內接正多邊形的兩條邊 RP和 PQ。根據平面幾何全大於其份的公設，扇形 O- 的面積大於四邊形 ORPQ的面積，而後者又大於三角形 ORQ的面積，可見他的論斷是有充分根據的。顯然正多邊形的邊數越加倍，它的面積越接近於圓的面積。劉徽在他的割圓術中說道：“割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”在這一特殊問題上，劉徽反映的極限思想比上述巴羅運用特征三角形求曲線切線的斜率時所隱含的極限思想要更為明確。劉徽所說的“割之彌細，所失彌少”表達瞭圓面積與內接正多邊形面積之差是一個單調減少的正的序列。他的後兩句話表示當邊數無限增加時，這個序列的極限為零，即他所說的“無所失矣”。祖沖之在劉徽割圓術的基礎上首先計算出瞭精確到千萬分之一的圓周率的近似值，他還相當精確地計算瞭球的體積。由此可見，在一些具體的問題上，如求切線、求弧長、求曲邊形的面積或曲面體的體積等，在17世紀初已經積累瞭不少成果，而且可以追溯得很遠，有些成果即使在微積分創立之後，也是用同樣的思想和方法解決的。但微積分作為一門學科來發展，還是由於牛頓和萊佈尼茨的貢獻。在他們之前，微積分的工作差不多局限於一些具體問題的細節之中，還缺乏普遍性的規律。牛頓和萊佈尼茨的工作首先使得導數與積分的互逆關系成為相當廣泛的一類函數的普遍規律。他們有效地創立瞭微積分的基本定理和運算法則，從而使微積分能普遍應用於科學實踐，終於不再是古希臘幾何學的延展而成為一門獨立的學科，並成為數學中最大分支“分析學”的起源。這都是他們作出貢獻以前不可能達到的。

　　18世紀以來的分析學　18世紀，分析學的應用大刀闊斧地向前邁進。這時微積分學充分發揮瞭它的威力，促使經典的變分法、微分方程、積分方程都有很大發展。分析學的范圍擴大瞭。無窮小分析成為當時數學發展的一個主流。整個18世紀的數學進展，遠較其他世紀更直接受到物理問題的推動。一方面數學為解決物理問題而創造出新的數學方法與理論，另一方面物理學的進展愈來愈需要新的數學方法與理論作為它的工具。這時數學本身的嚴密性問題很少引起註意，諸如級數與積分的收斂問題，累次積分交換次序問題，微分方程解的存在與惟一問題等，幾乎無人問津。一個物理問題用數學形式表達出來之後，數學傢們就開始工作，新的數學方法和定理就不斷湧現。既然結論在物理問題上被證實是正確的，就顧不到追究在數學推理上的嚴密性。當時正是物理與幾何的直觀促進瞭無窮小分析的蓬勃進展，至於奠定數學的邏輯基礎，一時還看不到什麼迫切的需要。18世紀數學傢的代表人物L.歐拉同時是當時居領導地位的理論物理學傢。他還研究船舶設計、帆的作用、彈道學、地圖學以及其他的實際問題。他的數學著作多得驚人，幾乎每個領域都有他的重要貢獻。在18世紀雖沒有產生象17世紀時的微積分那樣劃時代的新學科，但當時的數學傢施展瞭高超的技巧，發掘並推進瞭微積分學的影響，擴大瞭分析學的領域。變分法的早期工作幾乎和微積分本身難以區分。牛頓就研究過物體在水中作軸向常速運動時，要使運動阻力最小，其旋轉曲面應具什麼形狀的問題。1696年約翰第一·伯努利提出瞭最速降曲線的問題，要求從一給定點P1到處於P1下方但並不在過P1點的鉛直線上一點P2的曲線弧

使得一個質點沿這曲線弧從 P 1下滑到 P 2所用的時間為最短，而質點在 P 1處的初速是已知的。這一類問題都歸結為要求一個未知函數 y( x)，使得如下形式的積分

取到極值，這裡函數關系 F是已知的。歐拉成功地獲得瞭使J取極值的必要條件是 y( x)應滿足方程 ，但他當時並不明確這隻是必要條件。他在1736年發表這個有名的方程，並由此來求得使 J取極值的解。至於該微分方程的解是否是使 J取極值的解，他隻是從所處理的實際問題來回答。歐拉還解決瞭帶有特殊邊界條件的更難的極值問題。他的方法還是先從解這個微分方程入手。歐拉的工作引起瞭 J.-L.拉格朗日的註意，他於1755年對於范圍較廣的一類極值問題得到瞭一個比較系統而一般的方法，他稱之為變分法。用這個方法他求出瞭使 J取到極值的必要條件是歐拉已經獲得的那個微分方程。這個結果後來被稱為變分法基本引理，它的嚴格證明直到1848年由 P.F.薩魯斯給出。至於尋求使J取到極值的充分條件，在18世紀也沒有得到結果，1879年 K.（T.W.）外爾斯特拉斯才給出瞭充分條件。他把拉格朗日變分稱為弱變分，並且引進瞭強變分概念，給出瞭在強變分意義下使J取極值的充分條件。到20世紀，D.希爾伯特提出瞭他的不變積分理論，從而比較簡單地導出瞭外爾斯特拉斯關於強變分的充分條件。從變分法的進展也可以看出18世紀數學工作的特點。數學傢們巧妙地運用無窮小分析的技巧，解決瞭許多類型的極值問題，如最速降曲線問題、等周問題、測地線問題、極小旋轉曲面問題等等，但變分法基本引理的嚴格證明以及使J取極值的充分條件卻並沒有認真研究（見 變分法）。

　　到瞭19世紀，分析學中直觀的不嚴密的論證導致的局限性和矛盾愈益顯著，分析的嚴密化日益引起數學傢的關註。N.H.阿貝爾於1826年給 C.豪斯頓的一封信中寫道：“人們在分析中確實發現瞭驚人的含糊不清的地方。這樣一個完全沒有計劃和體系的分析，竟有那麼多人能研究過它，真是奇怪。最壞的是從來沒有嚴格地對待過分析。在高等分析中隻有很少幾個定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的。人們到處發現這種從特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是這種方法隻導致瞭極少幾個所謂的悖論。”這些話確實反映瞭當時分析學發展的情況。事實上，盡管微積分學已發展成為一門獨立的學科，具備瞭極為豐富的內容和十分廣泛的應用，但是它自己還未形成邏輯嚴密的理論體系，甚至它的最主要的基本概念如函數、導數、微分、定積分等，都還沒有嚴密地給出定義。嚴密的分析是從B.波爾查諾、A.-L.柯西，阿貝爾和P.G.L.狄利克雷的工作開始，並由外爾斯特拉斯進一步發展瞭的。在這方面以柯西和外爾斯特拉斯的工作為最主要。柯西在他的《分析教程》(1821)中從定義變量開始，對於函數概念引進瞭變量間的對應關系，而單值函數的確切定義，是狄利克雷在一篇關於傅裡葉級數的論文《用正弦和餘弦級數來表示完全任意的函數》中給出的，該文發表於1837年。三角級數的研究不僅導致函數概念的嚴密化、外爾斯特拉斯還利用三角級數構造出處處連續處處不可導的函數的例子。上述柯西和狄利克雷二人的工作都擯棄瞭歐拉認為函數必須有分析表達式的觀點和拉格朗日認為函數都可以用冪級數展開的觀點。事實上，有名的狄利克雷函數即在一切有理數取值1，在一切無理數取值0，就是狄利克雷在1829年給出的，顯然並不需要用復雜的分析表達式來表示後才肯定其為函數。關於函數連續性的確切定義，即ε-δ說法，是由外爾斯特拉斯在1841～1856年間做中學教師時給出的，直到1859年他在柏林大學任教之前，他的大部分工作沒有為人們所知道。波爾查諾於1817年首先給出瞭導數的定義，並且給出瞭級數收斂的明確概念，但他的工作有半個世紀未被註意。關於收斂概念，一般歸之於柯西1821年的工作。柯西於1823年在他的《無窮小分析教程概論》的著作中，對定積分作瞭系統的開創性工作，對於連續函數給出瞭定積分作為和的極限的確切定義。定積分概念對於一般的有界函數的定義是黎曼完成的。分析的嚴密化促進瞭實數系的邏輯基礎的建立。外爾斯特拉斯於1840年就開始考慮瞭無理數理論，到1872年R.戴德金的分劃使實數系建立在有理數的基礎上，從此微積分學才形成瞭嚴密的理論體系。蘇聯數學課程的設置中，稱這樣理論體系的微積分為數學分析，並結合一般拓撲的基礎，實變函數論和泛函分析的基本內容，作為數學分析的延伸。

　　單復變函數論在19世紀是一項很獨特的創造，當時在分析學中的地位，可以說幾乎相當於17～18世紀微積分學所處的地位。在18世紀，歐拉、達朗貝爾和拉普拉斯等人聯系著力學的發展，對於單復變函數已經做瞭不少工作，但函數論作為一門學科來發展，還是從19世紀開始。C.F.高斯在1811年，S.-D.泊松在1815年都曾經考慮積分的上、下限是復數的情形。但復變函數論的基礎理論是由柯西開始建立起來的。他在這方面的第一篇重要論文是《關於定積分理論的報告》。該文1814年曾宣讀於巴黎科學院，出版的時間是1827年。他在該文的序言中說到，他被吸引到復的積分問題的研究，是由於在處理流體力學的問題中出現的二重積分需要考慮交換積分次序的問題，從而進一步考慮瞭由實到復的過渡。1825年柯西完成瞭另一篇重要論文《關於積分限為虛數的定積分的報告》，到1874年才發表。該文中已經有留數定理的內容。單復變函數論中相當重要的一類解析函數叫做整函數，它在整個復平面的有窮部分都解析，外爾斯特拉斯在1876年把實多項式的因式分解定理推廣到整函數。在整個復平面的任何有窮部分隻能有極點作為奇點的解析函數叫做亞純函數。外爾斯特拉斯證明亞純函數可以表成兩個整函數的商。M.G.米塔-列夫勒在1884年將有理函數的部分分式定理推廣到一般亞純函數。各種類型的復變函數的取值范圍的問題是一個引起許多數學傢註意的研究課題，即所謂值分佈問題。(C.-)É.皮卡在1897年證明一個不退化成一常數的整函數最多隻能有一個有窮值它取不到，並且如果有兩個值它隻取到有窮次的話，那麼它隻能是一個多項式，否則除去一個例外值以外，它應無窮次取到每一個值，對於亞純函數而言，由於它可以取值∞，如果它不退化為一常數，最多隻能有兩個值取不到。他還證明一個函數在它的孤立本性奇點的任一鄰域內除可能有一個例外值外，應取到所有的值。關於亞純函數的值分佈理論，到20世紀還有很大發展。在單復變函數的研究中，多值函數是很重要的研究對象。系統地處理多值函數是由黎曼開始的。他建立瞭黎曼曲面的概念，有效地使一個多值函數在它聯系的黎曼曲面上成為單值函數，從而得以用處理單值函數的方法來研究多值函數。黎曼還從給定的黎曼曲面出發來求它所聯系的基本方程f(ω，z)=0，進而考慮黎曼曲面上有理函數R(ω，z)的積分，即關於阿貝爾積分的研究。黎曼還把共形映射的概念推廣到黎曼曲面。關於黎曼曲面的系統研究有（C.H.）H.外爾的專著。他給出的黎曼曲面的概念導致瞭流形概念的確立與發展。20世紀黎曼曲面的研究還有很大的發展。例如，最早由黎曼開始研究，並由G.羅赫在1864年完成的著名的黎曼-羅赫定理到20世紀有很大的推廣與應用。本質上這個定理確定瞭在至多有有窮個極點曲面上的線性無關的亞純函數的個數。其他如函數的幾何理論、擬共形映射、廣義解析函數等在20世紀都有很大發展，但函數論作為分析學的主流，卻是19世紀獨特的情形。另外應當提到的是關於狄利克雷級數和它的特殊情形所構成的黎曼ζ函數的研究，對解析數論所起的作用。1837年狄利克雷運用瞭現在稱為狄利克雷級數的工具，證明瞭數論中歐拉-勒讓德的猜想，即每一形如｛α+nb｝的序列，其中α與b互素，都含有無窮多個素數。1896年J.（-S.）阿達馬證明函數ξ(z)在x=1直線上沒有零點，從而證明瞭數論中的素數定理。函數論的方法與成果引入到數論中去，促成瞭19世紀解析數論的大發展。可見19世紀的單復變函數論確實是一項獨特的創造（見復變函數論）。

　　19世紀以來偏微分方程和常微分方程的理論也有很大發展（見微分方程）。特別應當提出，同偏微分方程的發展緊密聯系的傅裡葉分析的發展情況。由於工業上和科學上的需要，法國巴黎科學院曾把熱傳導問題定為1812年授予高額獎金的項目。傅裡葉在1811年完成的得獎論文中，運用瞭函數用三角函數展開的方法來解熱傳導方程。在有限區間的情形，他考慮瞭函數的三角級數展開。他指出系數由函數f(x)的如下形式的積分

　(1)

確定的三角級數

在區間(0， 2 π)能表示該函數。後人稱這樣確定的三角級數為 f( x)的傅裡葉級數，並稱(1)所確定的系數 α v， b v為傅裡葉系數。在無窮區間的情形，傅裡葉考慮瞭函數的三角積分展開。若令

　　　　(2)

他指出函數 f( x)可以用它三角積分

表示。後人稱上述積分為 f( x)的傅裡葉積分，並稱(2)為 f( x)的傅裡葉變換。傅裡葉有效地使用上述展開求熱傳導方程的解，即現在通用的分離變量法，但他並沒有研究展開的級數或積分的收斂問題。目前通用的收斂準則是狄利克雷給出的。19世紀建立的傅裡葉分析的理論，對於應用數學而言，當時已是令人滿意的數學工具，但由於積分概念的局限性，對於函數與展開式之間的深刻聯系，直到20世紀勒貝格積分概念確立之後才有重大的進展。三角級數的惟一性問題和傅裡葉展開的收斂問題，是傅裡葉分析的兩個很主要的問題，前者經過 G.（F.P.）康托爾等人的研究，集中到惟一性集合的結構問題，至今雖還沒有滿意的結果，但開創瞭點集結構性質研究。後者在概收斂意義下 Η.Η.盧津曾提出依H.L.勒貝格意義平方可積函數的傅裡葉級數必概收斂於該函數的猜想，這個猜想到20世紀60年代為L.卡爾森所證明。多元傅裡葉分析經過瞭S.博赫納、A.贊格蒙、A.-P.考爾德倫、E.M.施坦、C.費弗曼等人的研究有瞭很大的進展。傅裡葉變換在廣義函數空間有較多的運用，但在 n維歐氏空間的傅裡葉變換的研究中，有跡象表明勒貝格積分對於傅裡葉展開的研究雖然促進瞭一大步，但依舊顯示出瞭局限性。至於群上調和分析的研究，則緊密聯系著群表示論的進展，以及在一般的拓撲群上測度論的建立。後者經過A.哈爾、A.韋伊和И.M.蓋爾范德等人的工作而趨於完善（見 傅裡葉分析）。

　　20世紀初，一方面由於19世紀以來對於函數性質的一系列發現，打破瞭自從微積分學發展以來形成的一些傳統理解。例如函數可以連續而處處都不可導，收斂的以連續函數為項的級數的和可以不連續，黎曼可積函數的序列可以有不可積的極限函數等等，都和當時的傳統認識不符。另一方面，由於函數的傅裡葉展開和積分的概念緊密有關，黎曼積分的局限性就愈益顯著。這兩方面的原因都促使對積分理論作進一步探討。1902年勒貝格發表瞭他的論文《積分、長度與面積》。他的積分概念是建立在他關於點集的測度概念之上的。勒貝格的測度在一維歐氏空間是長度的擴充，在高維空間是面積、體積的擴充。就一維的情形來考慮，一個勒貝格測度為零的集合叫做零測集或簡稱零集，不一定是空集，也不一定是隻有個別點的集合。這和長度為零的直觀想象不同，一個零集可以有無限多的點，例如[0，1]區間的有理點所成的集合是一個零集。稱一個集合的測度為零，如果對於任意給定的正數 ε，總可以找到一串開區間{In}把它覆蓋住，使得區間In的長度 ｜In｜所構成的級數

收斂，且其和小於預先任意給定的ε。由此可見，測度等於零不能簡單地理解為長度等於零，但是同長度有著密切的聯系。測度概念的進一步擴充，即所謂抽象測度論，奠定瞭概率論的理論基礎，同時在群上調和分析、譜理論等方面都起著基礎作用。勒貝格建立瞭測度概念之後，稱有測度的點集為可測集，並定義瞭一類極為廣泛的函數，叫做可測函數。稱實函數 f( x)為可測，如果對於任何實數с，點 x滿足 f( x)>с的全體構成的集合總是可測集合。按勒貝格的積分概念，有限區間上一切有界的可測函數，都是可積的，這就大大擴大瞭可積函數的范圍，例如[0，1]區間上的狄利克雷函數是可積的，但它的黎曼積分就不存在。勒貝格積分是黎曼積分的擴充，按黎曼意義可積的函數，按勒貝格意義也一定可積，而且兩種意義的積分相等，反之則不然。勒貝格還為建立原函數概念與積分概念的關系作出瞭貢獻。他證明：在[ α， b]上按他的意義可積的函數 f( x)的變上限的積分 ，對於[ α， b]上幾乎所有的點 x，導數 F′( x)存在且等於 f( x)。這裡稱[ α， b]上除瞭一個測度為零的集合以外的一切點為[ α， b]上幾乎所有的點。勒貝格積分的創立還大大簡化瞭極限運算與積分運算次序的交換以及累次積分的積分次序的交換（見 勒貝格積分）。

　　20世紀泛函分析的發展反映瞭本世紀數學發展的一個特點，即探求普遍性與統一性。在泛函分析中函數已不作為個別對象來研究，而是作為空間中的一個點，與幾何學結合起來，對整個一類函數的性質加以研究。於是分析學從原來普通歐氏空間變量間對應關系的研究上升到函數空間不同類函數間的對應關系的研究，這是一個重要的發展。追溯到19世紀，泛函的抽象理論是1887年由V.沃爾泰拉在他關於變分法的工作中開始的。可以說泛函分析的開端是和變分法的研究有著密切聯系。但在建立函數空間和泛函的抽象理論的卓越成就中，應當首推M.-R.弗雷歇1906年的博士論文工作。他在距離空間中成功地給出瞭泛函的連續性、可微性和微分的概念。為瞭適應變分法理論普遍化的需要，L.托內利從1911年開始，在泛函理論方面開展瞭一系列工作。在他的《變分法基礎》的第2卷中，泛函的下半連續概念成為一個基本概念，在這基礎上他研究瞭相當廣泛的一類極值問題的解的存在性。盡管泛函的抽象理論最早是從變分法的工作中提出來的，但線性泛函分析的理論卻是隨著積分方程解的理論的普遍化而發展起來的。作為泛函分析核心的抽象算子理論，統一瞭微分方程和積分方程的特征值理論。希爾伯特在他的積分方程的工作中，曾把一類函數看成由它的傅裡葉系數序列所確定，這系數序列{сn}滿足

。其後E.施密特把復數的無窮序列{ z n}滿足 的，作為希爾伯特空間 l 2的元素 z={ z n}，對於這空間的任意兩個元素 z， w，他用 表示它們的內積，用 表示 z的范數。這是希爾伯特空間的由來。施密特和弗雷歇都曾註意到依勒貝格意義平方可積的函數空間 l 2完全類似於序列的希爾伯特空間，其後F.裡斯給出瞭 l 2空間的具體構造，即對於 f， g∈ l 2，用 來表示它們的內積，用 表示 f的范數，並指出平方可積函數空間 l 2和平方可和序列空間 l 2是等價的，其根據即著名的裡斯－費希爾定理。為使積分方程理論的普遍化， S.巴拿赫建立瞭完備的賦范空間，後通稱巴拿赫空間。對於空間的任意一個元素 x，其范數‖ x‖應滿足下列3個性質：①‖ x‖≥0，‖ x‖=0當且僅當 x=0；②‖ αx‖=| α|·‖ x‖對於一切復數 α成立；③‖ x+ y‖≤‖ x‖+‖ y‖對於空間的一切 x， y都成立。這裡預先假定瞭空間是一個加法群（交換），對於數乘是封閉的，並且規定瞭完備性，即任一柯西序列必有極限。這包括瞭許多具體的函數空間，例如 p(1≤ p)次可積函數以其模的 p次方的積分作為范數的 p次方的空間 l p都是巴拿赫空間。1929年巴拿赫引進瞭對偶空間的概念。對於給定的空間 B，考慮其上（連續）有界線性泛函所組成的空間 B *，稱 B *為 B的對偶空間，其中元素的范數即規定為泛函的界。巴拿赫的工作對於積分方程的抽象理論有許多貢獻。另一方面算子理論在量子力學中的應用，促進瞭希爾伯特空間與算子理論的發展，最主要的工作是1927年以來 J.馮·諾伊曼的公理化方法和他對埃爾米特型算子建立的普遍的特征值理論。隨後他又把有界算子的理論推廣到無界算子。廣義函數論的發生與發展既和調和分析緊密聯系，又和物理與工程的許多分支學科相聯系，最基本的廣義函數首先由物理學傢P.A.M.狄喇克提出來的。而L.施瓦爾茨的廣義函數論則建立在嚴格的理論基礎上的，其後И.М.蓋爾范德又作出瞭重要貢獻(見 廣義函數)。近代泛函分析，特別是非線性泛函分析的發展，滲透到瞭數學、物理的許多領域。非線性分析、應用分析雖沒有確切的范圍，但它們的發展方興未艾。其他如數值分析、函數逼近論、廣義矩量問題、量子場論和統計力學等，也都以泛函分析作為它們的重要工具。非線性偏微分方程的近代發展更是以非線性泛函分析為主要工具之一（見 泛函分析）。

　　函數逼近論的中心思想是用簡單的函數來逼近復雜的函數。例如，汽缸活塞的往返直線運動，通過曲柄連桿轉換成圓周運動，這時運動方程比較復雜，在應用中往往采取較簡單的漸近公式。這是函數逼近論的一個由來。在許多實際問題中，經常采取這樣的以簡馭繁的方法。1859年∏.Л.切比雪夫考慮瞭最佳逼近問題，1885年外爾斯特拉斯證明瞭連續函數可用多項式在固定區間上一致逼近。他們的工作至今仍顯示著重要性。用逼近的階來刻畫被逼近函數性質的正定理和逆定理，是1912年D.傑克森和S.伯恩斯坦分別得到的，現已成為函數構造論的基礎。1957年Α.Η.柯爾莫哥洛夫關於用單變量函數表示多變量函數的工作，進一步發揮瞭函數逼近論的中心思想。這種以簡馭繁的思想，滲透在分析學的許多領域。在函數逼近中當被逼近的函數整體來說可微的次數不大時，用統一的多項式去逼近，未必能得到高階的近似，但用逐段高階可微的函數去逼近時，就能得到較高的近似，這就是樣條函數逼近的由來。當被逼近的對象的性質不同時，逼近的工具應有所選擇。有的函數用有理函數來逼近往往能夠得到比用多項式逼近更高的近似。有的函數用沃爾什函數系的多項式來逼近往往能比用三角函數系的多項式逼近得到更高的近似。由此就產生瞭對於某一類函數，尋找最優的逼近工具問題，這方面的工作，柯爾莫哥洛夫於1936年進行瞭系統的研究，他定義的函數空間的集合的一個度量叫做寬度，其由來即在於此。在復數域上有理函數的逼近有J.L.沃爾什等人的工作。用算子逼近以及飽和類的研究，有M.紮門斯基，P.L.巴策爾，G.G.洛倫茨等人的工作（見函數逼近論）。

　　20世紀多復變函數論有較大的發展，但仍然遠不能象單復變函數論那樣發展得完整，這是近代分析學中很有發展前途的分支之一。早在19世紀，外爾斯特拉斯曾研究過兩個復變數的解析函數在零點近旁的情形，即所謂外爾斯特拉斯預備定理，它揭示瞭多元解析函數的零點所成的集合完全失去瞭像單元解析函數的零點構成孤立點集的性質。1895年P.庫辛考慮瞭米塔－列夫勒定理在多復變情形的推廣，他得到的結果是限於開區域的情形。即所謂庫辛第一定理。對於一般的區域，米塔-列夫勒定理的推廣是否成立，就是所謂庫辛第一問題。庫辛的第二問題是關於按給定零點構造全純函數的問題，庫辛的第二定理同樣是限於區域是開域的情形證明瞭他的第二問題可解。和庫辛問題緊密聯系的是龐加萊問題。早在1883年（J.-）H.龐加萊提出如下的問題：設φ(z1，z2，…，zn)在區域D亞純，是否可以找到兩個在D解析的函數G和h，它們不含公共的解析函數因子，使在D有

成立。如果對區域 D庫辛第二問題可解，則龐加萊問題亦必可解，其逆並不成立。龐加萊於1887年還考慮瞭二元解析函數的留數問題。20世紀，1906年F.M.哈托格斯證明瞭他的基本定理，即在雙元柱| z|＜ R 1，| w|＜ R 2中定義的單值二元函數 f( w， z)如果其中任一個變量任意固定，關於另一變量都是解析的話，則 f( w， z)在雙元柱中是一個二元解析函數。同年他又發表瞭多元解析函數的解析開拓定理。1910年E.E.列維提出瞭擬凸域和正則域（即全純域）是否等價的問題，這個問題像庫辛問題一樣推動著多復變函數論的進展。1929年W.F.奧斯古德的《函數論》第2卷可以說是多復變函數論最早的一本專著。1936年S.伯格曼發表的柯西積分公式比 A.韋伊1935年發表的積分公式更具有普遍性，但後者的公式比較簡單。在積分表達式方面還有 華羅庚和 S.博赫納等人的工作。1935年 H.嘉當對於兩個變量的情形證明瞭凡是能使庫辛第一問題可解的區域必定是正則域，岡潔在1937年證明瞭它的逆定理，而且對於多變量的情形逆定理也成立。1939年岡潔對庫辛第二問題也作瞭解答。1942年他首先給出瞭萊維問題的肯定性解答。岡潔的工作對於多復變函數其後的發展起著重要的影響。多復變函數的近代發展更趨向於綜合，它除瞭聯系著分析學的許多分支外，還緊密聯系幾何學、代數學以及代數幾何的發展，體現瞭近代數學發展的特點。華羅庚的專著《多復變函數論中典型域的調和分析》一書，反映瞭這方面頗具特色的貢獻，其中揭示瞭對於典型域而言，拉普拉斯算子和與之相聯系的一組二階微分算子具有共同的泊松核，並引起瞭其後的許多研究。目前國際上在多復變方面的重大成果主要在復幾何方面。 丘成桐在這方面做出瞭重要貢獻（見 多復變函數論）。

　　

參考書目

　錢寶琮主編：《中國數學史》，科學出版社，北京，1981。

　M.克萊因著，北京大學數學系數學史翻譯組譯：《古今數學思想》，第1～4冊，上海科學技術出版社，上海，1979。(M.Kline，MatheMatical Thought from Ancient to Modern Times，Oxford Univ.Press，New York，1972.)