形如
(1)
和
(2)
的
積分方程，依次稱為第一種弗雷德霍姆積積分方程和第二種弗雷德霍姆積分方程，其中
λ是參數，
φ(
x)是未知函數，核
K(
x，
y)和自由項
f(
x)是預先給定的函數。通常假設
K(
x，
y)屬於平方絕對可積函數類，記
，
B是非負數。當
f(
x)恒為零時，稱為齊次積分方程，否則稱為非齊次積分方程。
逐次逼近法及解核 第二種弗雷德霍姆積分方程的最簡便的一種解法是逐次逼近法，即按遞推公式
給出方程(2)的
n+1次近似解
，
這裡
K
m(
x，
y)表示
K(
x，
y)的
m次疊核，即
易知，
，
這裡
l可取為小於
m的任何自然數。當｜
λ｜＜
B
-1時，近似解序列{
φ
n(
x)}在[
α，
b]上是一致收斂的，其極限
φ(
x)就是方程(2)的解。
若級數
一致收斂，記之為
Γ(
x，
y；
λ)，則
Γ(
x，
y；
λ)同時滿足下面兩個方程：
， (3)
， (4)
對於某值
λ，若有平方絕對可積函數
Γ(
x，
y；
λ)同時適合方程(3)、(4)，則稱
Γ(
x，
y；
λ)為解核。這時方程(2)對任意的自由項
f(
x)有惟一解，它可表為
， (5)
反之亦然。
對於解核不存在的值λ，稱為特征值。否則，稱為正則值。當且僅當λ是特征值時，對應的齊次方程
(6)
才有非零解。非零解
φ(
x)稱為對應於
λ的特征函數。
弗雷德霍姆方法 E.I.弗雷德霍姆給出瞭一般情形的解核構造法。設K(x，y)是有界核，即│K(x，y)│＜M（M是實常數），記
， (7)
， (8)
式中
。
應用阿達馬引理可估計
，從而推知級數(7)、(8)對於一切復值
λ是絕對一致收斂的，因此，
D(
λ)、
D(
x，
y；
λ)都是關於
λ的整函數，並分別稱為弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆一階子式。可以證明，解核可表為Г(
x，
y；
λ)=
D(
x，
y；
λ)/
D(
λ)。這表明解核是
λ的半純函數。同時，解核的極點都是
D(
λ)的零點，也都是齊次方程(6)的特征值。反之亦然。
弗雷德霍姆定理 弗雷德霍姆對於第二種積分方程的研究，可歸結為如下的四個定理，總稱為弗雷德霍姆定理。它是弗雷德霍姆積分方程理論的基礎。
第一定理 在λ復平面的任意有限區域內，方程(2)至多隻有有限個特征值。
第二定理 每個特征值λ至少對應於一個特征函數，且所對應的線性無關的特征函數的個數是有限的。這個有限數稱為λ的秩。
第三定理 設λ是核K(x，y)的特征值，則λ是共軛核
的特征值。齊次方程(6)與其共軛齊次方程
具有相同的秩。
第四定理 若λ是核K(x，y)的特征值，則非齊次方程(2)可解的充分必要條件為：方程(2)的自由項f(x)與其共軛齊次方程的所有線性無關解ψi(x)正交，即
，
式中
r是
λ的秩。
因此，非齊次方程(2)，或者對任意自由項可解，或者相應的齊次方程有非零解。這一結論通常稱為弗雷德霍姆備擇定理。
對於第一種弗雷德霍姆積分方程，若φ(x)是它的解，又有非零的任意函數ψ(x)使得
，則
φ(
x)+
ψ(
x)也是它的解。E.施密特對方程(1)的特征值和特征函數給出瞭如下的定義：若對於某實數
λ存在非零的函數
φ(
x)和
ψ(
x)，滿足方程組
，
，
則稱
λ是方程(1)的特征值，而[
φ(
x)，
ψ(
x)]稱為對應於
λ的相伴特征函數對。易知，
φ(
x)和
ψ(
x)又分別為下面的第二種弗雷德霍姆積分方程的特征函數：
，
式中
；
，
式中
。
而
K
i
*（
x，
y）(
i=1，2)都是對稱正核，故
λ是實數，不妨認為
λ>0。方程（1）一定存在一組正特征值{
λ
i}和對應的正交標準的相伴特征函數對{
φ
i(
x)，
ψ
i(
x)}。有時也稱之為奇值和奇值函數序列。應用它可類似地建立展開定理。施密特指出，方程（1）可解的必要條件是級數
式中
f
i=(
f，
φ)。以後，(C.-)É.皮卡進而證明，在正交標準特征函數系{
φ
i(
x)}是完備的情形，這條件也是充分的。此即所謂施密特－皮卡定理。
對於第一種弗雷德霍姆積分方程的研究，近代有瞭新的進展，並提供瞭一些有效的解法，但至今還未建立起系統的理論。