格

　　一種特殊的偏序集。在許多數學物件中，所考慮的元素之間具有某種順序。例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按“⊆”（“被包含”）所成的順序；一組命題間按“蘊涵”所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究“順序”的性質及作用而產生的概念和理論。

　　偏序集是指一個非空集合P，在它它的某些元素序偶(α，b)間，規定瞭一種關系α≤b，適合下列性質：對一切α、b、с∈P，①α≤α；②若α≤b，且b≤α，則α=b；③若α≤b，且b≤с，則α≤с。

　　設P是一個偏序集，α、b、с是P中元素。若α≤с且b≤с，則с稱為α和b的一個上界。若對α和b的任一上界d∈P，有с≤d，則с稱為α和b的最小上界。易知，α和b在P中的最小上界至多有1個。當它存在時，就記作α∪b。仿此可定義α和b的最大下界，當它存在時，就記作α∩b。P的任一非空子集的最小上界及最大下界可以類似地定義。但它們不一定存在。

　　如果偏序集l中任二元素α和b，都具有最小上界α∪b與最大下界α∩b，那麼l稱為一個格。在格l中，運算∪及∩適合以下性質：對一切α、b、с∈l，①α∪b=b∪α，α∩b=b∩α；②α∪(b∪с)=(α∪b)∪с，α∩(b∩с)=(α∩b)∩с；③α∩(b∪α)=α，α∪(b∩α)=α；④α∪α=α，α∩α=α。

　　運算∪、∩及偏序 ≤可以互相刻畫，即對一切α、b∈l，α≤b當且僅當α∪b=b，當且僅當α∩b=α。由此可得到格的又一個定義：如果非空集合l有兩個二元運算∪及∩，它們滿足上述的性質①～④，那麼l稱為一個格。這個定義與前一定義是等價的。

　　設P是一個偏序集，P₁是P的任一非空子集，P₁按照由P中繼承來的偏序，也構成一個偏序集，稱為P的子偏序集。設l是一個格，l₁是l的一個非空子集，如果l₁對於l中的運算∪及∩是封閉的，那麼l₁稱為l的子格。有時，格l的子集l₁不是l的子格，而作為l的子偏序集，它自身卻可以構成一個格。這是因為l₁中的元素α和b在l中的最小上界（最大下界）與在l₁中的最小上界（最大下界）未必一致。

　　例如，集合l={1，2，3，4，12，}按照正整數的整除(即規定對一切α、b∈l，α≤b當且僅當α整除b)構成一個偏序集。而且l是一個格，如3∩4=1，2∪3=12，等等。集合l也可如圖1

群G的運算表

所示。格中每一個元素用一個“。”表示，並在諸“。”間連線，任二元素 α和 b能用自下而上的折線連通，當且僅當 α≤ b。

　　群G={e，α，b，с}，其運算如表。

　　G共有5個子群：G，A={e，α}，B={e，b}，C={e，с}，E＝{e}。這些子群所成的集合L(G)={G，A，B，C，E}對於偏序"⊆"構成一個格，如圖2

所示。

　　若一個格的任意非空子集都有最小上界及最大下界則這個格稱為完備格。例如，每個有限格都是完備格；實數集R（加入±∞後）對於通常的大小順序≤構成一個完備格，但是有理數集Q卻不然，因為Q中一切適合r²＜2的數r所成的子集就沒有最小上界。任一群G的一切子群所成的集合對於“⊆”構成一個完備格 F(G)。關於完備格有定理：每個格l都能嵌入一個群G的子群格F（G）中，即L同構於F(G)的一個子格。仿照通常由有理數集構作實數集的戴德金分割方法，可以證明又一個定理：每個偏序集P都能“完備化”為一個完備格l，亦即由P能作出一個完備格l，l包含P為其子偏序集。

　　在廣義實數系R中，不但能進行四則運算，而且由於R對於≤具有完備性還能進行求極限的運算，R成為分析數學的基石。在格論中，有些完備格也可以有某種類似的作用。

　　在一個格l中，∩對於∪的分配律α∩(b∪с)=(α∩b)∪(α∩с)，或∪對於∩的分配律α∪(b∩с)=(α∪b)∩(α∪с)未必成立。如果在格l中有一條分配律成立，那麼l稱為分配格。可以證明，若在格l中有一條分配律成立，則另一條分配律也成立。例如，每個全序集都是分配格。正整數集對於“整除”這一偏序構成一個分配格。任一集合的一切子集所成的集合，對於偏序“⊆”構成一個分配格。一個格l是分配格的充分必要條件為：l不具有同構於圖1所示的格或圖2

所示的格的子格。關於分配格有如下的定理：每個分配格 L都同構於一個集合環（即一個集合的某些子集對於“並”(∪)及“交”(∩)所構成的格）。每個偏序集都能擴展為一個全序集，擴展時無須增加元素而隻擴展偏序的定義。

　　設l是一個格。所謂模度律，是指對一切α、b、с∈l，有α∪(b∩(α∪с))=(α∪b)∩(α∪с)。如果在格l中有模度律成立，那麼l稱為模度格，又稱戴德金格。一個格l是模度格的充分必要條件為：l不具有同構於圖1　所示的格的子格。關於模度格有如下的定理：設G是一個群，L₁(G)是G的一切正規子群對於偏序“⊆”所成的格，則L₁(G)是模度格。關於環上的模及其子模，也有類似的定理成立。利用模度律，可以對群和模的某些結構性定理如若爾當－赫爾德定理、克魯爾－施密特定理等用格論的語言，作比較簡明也比較一般的證明。

　　如果一個格l中含有對於≤的最大元I及最小元O，而且有一種求補運算“′”，對一切α∈l，α∪α′=I，α∩α′=O，那麼l稱為可補格。例如，佈爾代數就是可補格中重要的一類。可補模度格也是較重要的，它與射影幾何有聯系。

　　格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數學分支中都有應用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格L(G)之間關系的研究。在數理邏輯中，近年來關於“不可解度”的研究。

　　

參考書目

　G.Birkhoff，lattice Theory，3rd ed.，American Mathematical Society，New York，1967.