全連續運算元-百科詞條

　　又稱緊運算元，是最接近於有限維空間上線性運算元的一類重要運算元。

　　在線性代數中，關於線性變換所相應的線性方程組的求解問題已被完全解決瞭，其主要結果是：非齊次線性方程組有惟一解，當且僅當相應的齊次方程組隻有零解；如果齊次方程是退化的，那麼共軛方程也是退化的，非齊次方程組可解當且僅當自由項必與共軛的齊次方程組非零解相正交，並且在可解時，還可寫出它的解的一切形式（即通解）。20世紀初，在討論第二類線性積分方程時，也得到瞭和線性方程組組完全類似的弗雷德霍姆理論。後來，人們發現這種理論對（線性）全連續算子也是成立的。

　　全連續線性算子　設x為巴拿赫空間，T為x到自身的線性算子，如果對x中一切有界序列{x_n}，存在子序列{x

)，使 T x

收斂，就稱 T為全連續算子(或緊算子)。如果 x中某子集內的每個序列都有收斂子序列，就稱這個集為列緊集。全連續算子的定義可以改述為：把 x中有界集映為列緊集的算子。如果對 x中集 M，定義 M的非緊性測度為

\ n

式中

，那麼全連續算子 T的定義又可以改述為：對一切有界集 M，滿足 v( T M)＝0的算子。

　　x上的有限秩算子（即值域是有限維的有界線性算子）就是一類重要的全連續算子。在希爾伯特空間中，每個全連續算子必為有限秩算子的一致極限（見線性算子）。這個性質在巴拿赫空間中是否成立一直為人們所註意。後來，P.恩夫洛舉瞭一個反例，對此作瞭否定的回答，由此更引起人們對巴拿赫空間結構研究的興趣。

　　全連續算子的另一個重要的典型例子是L²[0，1]上的積分算子：如果K(s，t)為正方形D＝{(s，t)｜0≤s，t≤1}上平方可積函數，則稱由

確定的 L ²[0，1]到自身的算子 K是以 K(s， t)為核的積分算子，它是 L ²[0，1]上的全連續算子。特別，如果當s＜ t時， K(s， t)＝0，即有

，這種積分算子稱為沃爾泰拉算子。

　　巴拿赫空間x上全連續算子T有下述重要性質：①全連續算子的共軛算子是全連續算子；②T的值域不能包含無限維閉線性子空間；③對任何復數λ≠0，λI-T（I為單位算子）的值域必是閉線性子空間。

　　全連續算子譜分析　下面是由F.裡斯和J.P.紹德爾完成的所謂巴拿赫空間上全連續算子的弗雷德霍姆理論：設T是巴拿赫空間x上的全連續算子，①當x是無限維時，零必是T的譜點，且T的譜的極限點隻可能是零；②如果λ≠0是T的譜點，則它必是T的特征值，也是T

的特征值，而且 T和 T

相應於 λ的特征子空間是兩個維數相同的有限維子空間；③如果 λ ₁， λ ₂，…， λ _n是 T的任意有限個不同的特征值， x ₁， x ₂，…， x _n為相應的特征向量，則 x ₁， x ₂，…， x _n必線性無關；④如果 λ， μ分別是 T， T

的譜點，並且 λ≠ μ時，則 T相應於 λ的特征向量 x與 T

相應於 μ的特征向量 f必“正交”，即 f( x)=0；⑤設 λ≠0，則方程( λ I- T) x＝ y對一切 y∈ x可解的充要條件是( λ I- T) x=0隻有零解；⑥如果 λ是 T的非零特征值，則方程( λ I- T) x= y可解的充要條件是 y與 T

相應於 λ的一切特征向量 f正交;⑦如果 λ ₀是 T的非零特征值，則在 λ ₀的某個鄰域中，( λ I- T) ^-1必有P.A.洛朗展開：

式中

是 x上有界線性算子。

　　跡算子　對希爾伯特空間上的全連續算子T，則進一步還可以找到兩個就范正交系{e_n}和{φ_n}以及一列非負實數λ_n→0，使

稱{ λ _n｜ n＝1，2…}為 T的奇異數。如果奇異數滿足

就稱 T為 σ _p類全連續算子，而其中 σ ₁類算子又稱為跡類算子， σ ₂類算子稱為希爾伯特-施密特算子。對跡類算子 T，它的所有特征值組成一個絕對收斂級數，稱 T的特征值之和為跡，記為tr T。對希爾伯特－施密特算子，以它奇異數平方和的平方根作范數，也成為一個希爾伯特空間，這時內積( T， S)＝tr( S

T)。

　　卡金代數　全連續算子類有一個重要的代數性質：在巴拿赫空間x的有界線性算子全體B(x)中，全連續算子全體H(x)是一個閉的雙側理想，即當T為全連續算子時，對任何A，B∈B(x)，ATB仍是全連續算子。在無限維空間中，單位算子不是全連續的，所以H(x)是B(x)的一個真理想。由此可以構造一個商代數B(x)/H(x)，稱為卡金代數。