李群中帶有算術性質的一類離散子群。例如，實數域R中的整數全體Z；GL(n，R)中的GL(n，Z)；SL(n<，R)中的SL(n，Z)等。令G=GL(n，R)，Г=GL(n，Z)，若GL(n，Q)的子群G′是與Г相稱的，則G′稱為GL(n，R)中的算術子群。所謂群H的子群H1與H2是相稱的，意即H1∩H2在H1及H2中的指數[H1：H1∩H2]與[H2：H1∩H2]都是有限的。相稱關系是個等價關系。設G是定義在有理數域Q上的線性代數群，GQ表G的Q有理點所成的子群，又令GZ=GQ∩GL(n，Z)，若GQ的子群Г與GZ相稱，則Г稱為G的算術子群。這個性質是與G如何嵌入在GL(n，Q)中無關的。
如果Г 能同構於G的一個算術子群，則Г 稱為算術群。顯然，算術群中的有限指數的子群都是算術群。算術群是較為廣泛的一種群，諸如有限群、有限生成的交換群、無撓的有限生成冪零群以及有限生成的非交換自由群都是算術群；如果環R又是有限秩自由Z 模，那麼環R的所有單位所成的乘法群R+，都是算術群；特別地，代數數域K的整數環
的乘法群
，都是算術群。
還有一類重要的算術群。自然同態ω：GL(n，Z)→GL(n，Z/qZ)下的核Kerω＝Гq，稱主同餘子群，這裡ω是把任一n階整系數方陣(gij)映射到方陣(
ij)∈
G
L(
n，Z/
qZ)，其中
q為大於1的正整數，而
ij是整數
g
ij所屬的模
q剩餘類。含主同餘子群Г
q的算術子群Г，Г
q⊂Г∩
G
L(
n，Z)稱同餘子群。所以同餘子群必然是算術子群，但是，每個算術子群Г是否都是同餘子群，即是否有
q使Г∩
G
L(
n，Z)ɔГ
q，這是算術群理論中的一個核心問題，並稱之為同餘子群問題。當
G＝
S
L(
n，
R)，
n≥3時，同餘子群問題已有肯定答案，而
n=2時是否定的。對
G是別的分裂型單連通單代數群時，也有類似結果。
最早研究的算術群是SL（2，Z），稱為模群。設H是復數平面的上半平面，即H={z=x+iy∈C│y＞0}，矩陣
以下列方式作用在
H上：
z∈
H，
S
L(2，Z)是
S
L(2，
R)中的算術子群，對於這個算術子群
S
L(2，Z)可以找到
H的一個子集
D，使
D是
S
L(2，Z)在
H上的基本域，即滿足①
S
L(2，Z)·
D=
H，②若
g′∈
S
L(2，Z)，則集合{
g∈
S
L(2，Z)｜
g
D∩
g′
D≠ø}是有限集，也可以對一般算術群定義基本域。研究基本域的存在，緊致性、測度等方面的理論，稱為算術群的簡約理論。它也是算術群理論中的一個核心問題。早在19世紀，
C.F.高斯和
J.W.R.戴德金等人在研究橢圓函數的時候，就涉及模群
S
L(2，Z)及模群下不變的模函數，高斯在討論正定二元二次型的整等價分類時，也已經知道模群的基本域。20世紀30年代
C.L.西格爾研究算術群
S
L(
n，Z)，並作出瞭它的基本域，稱為西格爾區域，而
S
L(
n，Z)稱為西格爾模群。至於一般線性代數群中算術群的研究，則是在60年代由A.博雷爾、哈裡什－錢德拉以及J.蒂茨開始。這個概念就是首先在他們研究李群中的格的存在性時產生的。隨後，A.賽爾伯格和其他人提出瞭一個著名的猜想：
R-秩大於2的任一半單李群的不可約格皆是算術的。經過博雷爾、M.拉格休內森等許多著名數學傢的努力工作，這一猜想最後為G.A.馬圭利斯所證實，他因此獲得1978年的費爾茲獎。這些工作大大地推動和豐富瞭算術群的研究。
參考書目
A.Borel，Introduction aux Groupes Arithméti-ques，Hermann，Paris.1969.
J.E.Humphreys，Arithmetic Groups，Lecture Notes in Math.789，Springer-Verlag，Berlin，1980.
M.S.Raghunathan，Discrete Subgroups of Lie Groups，Springer-Verlag，Berlin，1972.
G.A.Margulis，Arithmeticity of Irreducible lattices in Semi-Simple Groups of rank Greater Than1，Mir.，Moscow，1971.