又稱四色猜想，數學中的著名問題之一。1852年F.格思裏提出如下猜想：對平面或球面上的任一地圖著色，至多用四種顏色就可以使兩個相鄰(即有一段公共邊界)的國傢或區域的顏色不相同。1890年，A.B.肯普和P.D.希伍德證明瞭五色定理：對平面上的任何地圖著色，用五種顏色就可以使得任何兩個相鄰的區域具有不同的顏色。
對平面上的任何地圖，若用點表示區域，用邊表示區域的相鄰關係，則得到一個對應的平面圖(見圖論)，如圖11
。於是，四色問題即為任何平面圖的點色數不超過4的問題。
一個平面圖G，若對G中任意兩個不鄰接的點u、υ加進邊(u，υ)後就不是平面圖，則G稱為極大平面圖。如果能證明所有極大平面圖的點色數不超過4，那麼，所有平面圖的點色數也不超過4，因此四色問題中所研究的平面圖都假定是具有足夠多點數的極大平面圖。點數小於96時，可用推理方法直接證明四色定理。
一個平面圖，若它的每個有界面的邊界都是三角形，則稱之為構形。一個構形F，若具有下述性質，則稱F為可約的：對任何極大平面圖G，若G中包含F，則存在G的一個子圖G′(通常G′是從G中去掉F內部的點後而得到的)，使G的色數等於G′的色數。例如，若平面圖G中含有圖2
中的構形
p，取子圖
G′=
G-υ
4，隻要用與υ
1，υ
2，υ
3的染色不同的第4種顏色去染υ
4，就可從
G′的四色著染導出
G中的四色著染，因此構形
p是可約的。一個由有限個構形組成的集合F，若具有下述性質，則稱F為一個不可免完備集：任何點數多於4的極大平面圖，至少包含F中的一個構形。已經證明，圖2中的構形集{
p，
Q，
R}組成一個不可免完備集，且
p、
Q是可約的。假如能繼續證明
R也是可約的（即如果{
p，
Q，
R}是一個由可約構形所組成的不可免完備集），那麼，應用數學歸納法就可證明四色猜想。然而，至今未能得證。1879年，A.B.肯普認為他已證明瞭四色猜想，但他的證明是錯的，其原因在於承認瞭
R具有可約性。
1913年，G.D.伯克霍夫發現瞭一些新的可約構形。20世紀30年代，H.希施企圖用電子計算機在可約構形中找出一個不可免完備集。他提出瞭一個檢查給定的構形集合，是否為不可免完備集的算法。1971年有人聲稱借助計算機找出瞭一個不可免完備集，其中的構形全是可約的。但H.惠特尼和W.T.塔特獨立地發現其錯誤是計算機誤算出一個構形的可約性。同時，他們提出瞭可約性的分類理論。1976年K.I.阿佩爾和W.哈肯改進瞭希施的算法，並研究瞭可約構形的范圖，他們聲明利用電子計算機找到瞭一個由1936個可約構形所組成的不可免完備集，從而在美國數學會通報上宣佈證明瞭四色猜想。之後，減少到1834個可約構形。
與四色問題有關的命題很多。例如，赫德維格爾猜想：凡是點色數為x的圖，都可通過一系列減去邊或將一個邊壓縮成一個點的方式變成一個x個點的完全圖。已經證明，當x≤4時，命題成立；而x=5時該猜想與四色問題等價。四色問題對圖的著色理論、平面圖理論、代數拓撲圖論、極圖理論以及有限射影幾何的發展，都起瞭推動作用。
參考書目
O.Ore，The Four Colour Problem，Academic Press，New York，1967.