算術-百科詞條

　　數學中最古老同時又是最基本的一個分支，它研究數的性質及其運算。arithmatic源於希臘文arithmos，就是“數”(shй)數的意思。“算”字的古義也是“數”的意思，古寫為“筭”，表示計算用的竹籌，許慎《說文解字》中有“筭，長六寸，所以計歷數者”，中國古代複雜的數字計算都要用算籌，所以“算術”包含當時的全部數學知識與計算技能，流傳下來的最古老的《九章算術》以及失傳的許商《算術》與杜忠《算術》，就是討論各種實際的數學問題的求解方法。

　　作為現代學校教學科目的“算術”與作為數學分支的“算術”是有差別的。教學科目的算術，除瞭正整數、分數、小數的性質以及它們的四則運算(加、減、乘、除)外，還包含量的度量、比、比例等帶有實用性質的內容，這是由來已久的傳統。而作為數學分支的“算術”則還包含數論的某些初步內容。

　　數的早期發展　人類在日常生活與生產實踐中，由於計數的需要，在文化發展的最初階段，就產生瞭自然數的概念。僅有自然數不足以解決生活和生產中常見的分份問題，因之，數的概念的第一次擴張是從自然數擴大到正分數，最初僅認識分子是1的分數，爾後逐漸熟悉瞭分子是任意自然數的分數及其運算規則。從已有的文獻可知，人類認識自然數與分數的歷史是很久的，例如，古埃及人很早就有瞭關於整數和分數的知識，流傳下來的萊茵德紙草書（約公元前2000）記載瞭有關於分數的計算方法。中國殷代遺留下來的甲骨文字中有很多自然數，最大的數字是三萬，並且全部是應用十進位制的位置記數法。戰國時齊人所寫的《考工記》就利用分數的知識，例如，A的長度是B的長度的幾分之一，意即“n分其B，以其一為A”，而在《九章算術》一書的方程章裡，相當完整地介紹瞭分數的約分、通分以及加、減、乘、除四則運算的規則。中國古代數學主要用來解決實際問題，其中涉及到一些無理數，例如關於正方形的邊長與對角線的關系最初表述為“方五斜七”。3世紀時，劉徽提出用繼續開方“求其微數”的方法後，可得到十分準確的近似值。引入無理數是古希臘人的貢獻，希臘哲學傢畢達哥拉斯從直角三角形定理出發，知道邊長為1的正方形的對角線的長度r適合關系式r²＝2，因此，存在一個“數”，其平方為2。但當時僅知道有理數，於是應存在兩個自然數α，b，沒有真公因數，使得

，從而 b ²=2 α ²，於是 b應是一個偶數，從而 α也是偶數，這又與 α、 b沒有真公因數相矛盾。這就是所謂“畢達哥拉斯的兩難”。為瞭擺脫這個困境，隻有擴大數的范圍，承認存在不能表成分數形式的數，這種新數，就是無理數。後來，歐幾裡得在《幾何原本》中又用幾何的方法證明正方形的對角線長與其邊長不可通約，進一步說明瞭無理數的存在。中國古代很早就認識負數及其計算規則，例如，《九章算術》的方程章中就提出用不同顏色的算籌分別表示正、負數（紅色算籌表示正數，黑色算籌表示負數），並給出正、負數的加減法規則，即所謂正負術：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。這比其他國傢的人民利用負數的年代要早得多。至於零的引入，通常認為是大約5世紀以後印度人的貢獻。虛數的出現，則是16世紀以後的事。數的知識，經過瞭漫長的歷史發展過程，直到19世紀，才建立嚴密的理論體系。通常算術裡僅討論自然數、正分數、正無理數，而把其他的數留給代數討論。

　　自然數的公理刻畫　自然數的概念，在數學上一直把它當作最明顯、最基本的概念來應用，多少世紀以來，沒有發生用更簡單的概念來說明它、定義它的問題；直到19世紀，在數學的公理化方法發展的影響下，才提出“自然數是什麼”的問題。按照公理法的要求，數學上每一個概念都希望用更簡單的概念來定義，最後歸結為幾個最基本的不定義的概念;已知概念的每一個性質，也希望由幾個不加推導的最基本的性質推導出來。對於自然數，可以用什麼樣的最基本的概念來定義？哪些是自然數的最基本性質，其餘性質均可由它們推導出來？這項工作可以認為發端於G.W.萊佈尼茨關於等式2×2=4的證明。由於自然數有兩種功用，一種是用來回答“多少個”，一種是用來回答“第幾個”，因此，產生瞭兩種理論：基數理論與序數理論。這個工作是在19世紀末分別由德國數學傢G.（F.P.）康托爾和意大利數學傢G.皮亞諾完成的。

　　自然數的基數理論，是以集合間的“一一對應”的概念為基礎的。給定兩個集合A、B，如果存在一個規則f，對於A中每一元α，在B中惟一確定b（稱為α在f下的像），並且，A中不同元確定的像也不同，又B中任一元均為A中某一元的像，那麼就說f是A到B的一個一一對應。存在一一對應的兩個集合稱為等價的。取定一個集合A，把所有與A等價的集合放在一起，作成一個集合的類W，W中所有集合所共有的屬性稱為A的基數，簡而言之，類W本身就稱為A的基數。於是，每一個集合均有一個惟一確定的基數，等價的兩個集合的基數相同，不等價的集合的基數不同。例如，取A為單獨一支粉筆所成的集合，與A等價的所有集合所具有的共同屬性，顯然就是這個集合所具有的元素個數1。基數概念也就是這樣通過比較(一一對應)與分類得出來的。單獨一個元素的集合A={α}的基數記為1，將A本身作為元素添加到集合A中，得出集合B={α，A}={α，{α}}的基數記為2，再將B視為元素添加到集合B中，得出的集合C={α，A，B}={α，{α}，{α，{α}}}的基數記為3，如此下去，依次得出1，2，3，…，稱為自然數。由單獨一個元的集合出發，逐次添加一個元素所得的集合，通常稱為有限集，因此，自然數可以定義為有限集的基數。此時集合的基數實際上就是人們通常所熟悉的集合中元素個數。例如，含有三本書的集合E，易知它與上述基數為3的集合C等價，故E的基數為3，也就是E中元素個數為3。為瞭計數，先要有計數的標準集合(自然數)，通過一一對應就可確定所要計數的集合中元素個數，考查一下兒童數數的過程，就可發現確是如此。這樣，自然數可以用來回答有多少個的問題。

　　取定兩個自然數α、b。設A、B分別表示以α、b為基數的集合。若A與B等價，由定義知，α=b。若A等價於B的一個真子集合（即由B的部分元素組成的集合），則說α＜b。若B等價於A的一個真子集合，則說b＜α。由於A、B是有限集，可以證明，二者不能同時成立（當A、B是無限集時，二者可以同時成立，此時，由伯恩斯坦定理知，A與B等價），因此，這就建立瞭自然數的順序關系：對於任意自然數α、b，或α=b，或α＜b)，或b＜α，三者有且僅有一種情形成立。

　　取定自然數α、b，設A、B分別表示以α、b為基數且無公共元素的集合(由於A、B可在等價類中任意選取，無公共元素的集合總是存在的)，命C表示A、B的並集(即以A、B的所有元素組成的集合），C的基數с稱為α、b的和，記為с=α+b，形成和的運算稱為自然數的加法。可以證明，自然數的加法適合交換律與結合律。由加法結合律，可知任意b個α相加的結果，與添加括號的方式無關，其惟一結果記為d＝α+α+…+α＝bα，稱為b、α的積，形成積的運算稱為自然數的乘法。於是，可以證明，自然數的乘法適合交換律、結合律以及乘法對加法的分配律。

　　自然數的序數理論，是皮亞諾於1891年發表的。他利用兩個不定義的概念“1”與“後繼者”以及四個基本性質（公理）來定義自然數。所謂自然數，是指滿足以下性質的集合N中的元素：

　　①1是N的一個元，它不是N中任何元的後繼者，若α的後繼者用α⁺表示，則對於N中任何α，α⁺≠1；

　　② 對於N中任意元α，存在而且僅存在一個後繼者α⁺；

　　③ 對於N中任何α、b，若α⁺=b)⁺，則α=b；

　　④N的一個子集合M，若具有以下性質：

　　1屬於M；α屬於M，則α⁺也屬於M，則M=N。

　　用2表示1⁺，3表示2⁺，…，如此下去，則可以把N的全部元素如下排列出來：

　　 1，2，3，4，…，n，n⁺，…。　　　(*)

這就是人們所熟悉的自然數列。所謂“如此下去”，實際上就是公理④，通常稱為歸納公理，這是證明對於所有自然數都成立的命題非常有效的工具。例如，說數列(*)就是全部自然數，首先(*)的全部元素組成N的子集合M，1在M中，又當n在M中時，有n⁺在M中，故M=N。利用自然數列(*)，可以回答第幾個的問題。1是第一個數，1後面的2是第二個數，等等。因此，這樣的自然數稱為序數，以區別於前述的可用來回答多少個的基數理論。當然，稍加處理，即可使二者溝通起來。

　　算術基本定理　在自然數范圍內，除法不是永遠能施行的，這就是說，任意兩個自然數的商未必是自然數，因而出現因數問題。所謂α是b的因數，即指存在自然數с，使αс=b，也稱為α除盡b，此時b稱為α的倍數。1是任何數的因數。自然數p稱之為一個素數，是指p＞1，而且p的因數隻有1與p本身。不是1也不是素數的自然數稱為合數。大於1的任意自然數均可表成素數的乘積，如果不計次序的差別，表法是惟一的。這一結論通常稱之為算術基本定理，是德國數學傢C.F.高斯首先證明的。