又稱哈代-李特爾伍德極大函數，由已知函數經一定運算（取平均）後取極大值所定義的函數，是由英國數學傢G.H.哈代、J.E.李特爾伍德於20世紀30年代研究傅裏葉級數時引進的。極大函數運算元M是指將函數f映為它的極大函數Mf的運算元。設f(
，
式中
B(
x，
r)是以
x為心、
r為半徑的球，|
B(
x，
r)|是球的體積，
表示對
r取上確界。可證明，極大函數(
M
f)(
x)是幾乎處處取有限值的，隻要
；而且
，式中
A是常數，僅與
p，
n有關。
從極大函數的定義可知，(Mf)(x)≥｜f(x)｜幾乎處處成立。另一方面，隻要
，那麼仍有
。這說明，極大函數(
M
f)(
x)雖比｜
f｜本身要大，但又“不太大”。正是這個重要性質，使得極大函數(
M
f)(
x)能有效地控制那些在
l
p上有界的算子，最後可以通過函數本身的大小達到估計算子的目的。
極大函數的研究對分析數學的發展起瞭很大作用，近年來又有許多推廣，並應用到數學的其他分支中去。