積分方程

　　積分號下含有未知函數的方程。其中未知函數以線性形式出現的，稱為線性積分方程；否則稱為非線性積分方程。

　　積分方程起源於物理問題。牛頓第二運動定律的出現，促進瞭微分方程理論的迅速發展，然而對積分方程理論發展的影響卻非如此。1823年，N.H.阿貝爾在研究地球引力場中的一個質點下落軌跡問題時提出的一個方程，後人稱之為阿貝爾方程，是歷史上出現最早的積分方程，但是在較長的時期未引起人們的註意。“積分方程”一詞是 P.du B.雷蒙蒙德於1888年首先提出的。19世紀的最後兩年，瑞典數學傢（E.）I.弗雷德霍姆和意大利數學傢V.沃爾泰拉開創瞭研究線性積分方程理論的先河。從此，積分方程理論逐漸發展成為數學的一個分支。

　　1899年，弗雷德霍姆在給他的老師（M.）G.米塔－列夫勒的信中，提出如下的方程

，　 (1)

式中 φ（ x）是未知函數； λ是參數， K（ x， y）是在區域0 ≤ x， y≤1上連續的已知函數； ψ( x)是在區間0≤ x≤1上連續的已知函數。並認為方程（1）的解可表為關於 λ的兩個整函數之商。1900年，弗雷德霍姆在其論文中把（1）稱為“積分方程”，並初次建立瞭 K（ x， y）的行列式 D( λ)和 D（ x， y， λ），證明瞭它們都是 λ的整函數，以及當 λ是 D( λ)的一個零點時，則(1)的齊次方程 φ 有不恒等於零的解。1903年，他又指出，若行列式 D(1)≠0，則有一個且隻有一個函數 φ( x)滿足方程(1)( λ=1)，此時 φ( x)可表為

從此，積分方程理論的發展進入瞭一個新的時期。

　　以下形式的積分方程

， (2)

， (3)

，(4)

分別稱為第一種、第二種、第三種弗雷德霍姆積分方程，其中 K( x， y)是在區域 α≤ x、 y≤ b上連續的已知函數，稱為方程的核； A( x)、 ψ( x)都是在區間 α≤ x≤ b上連續的已知函數， φ( x)是未知函數， λ是參數。

　　第一、二種弗雷德霍姆積分方程是第三種弗雷德霍姆積分方程的特殊情形。但是，第一種方程與第二種方程卻有本質上的區別。

　　與弗雷德霍姆幾乎同時，沃爾泰拉研究瞭如下形式的積分方程

(5)

，(6)

，(7)

分別稱為第一種、第二種、第三種沃爾泰拉積分方程，式中 λ、 φ( x)、 ψ( x)和 A( x)如前所述， K( x， y)是定義在三角形區域 α≤ y≤ x≤ b上的已知連續函數。弗雷德霍姆積分方程中的核 K( x， y)當 x＜ y時為零，就是沃爾泰拉積分方程。因此沃爾泰拉積分方程是弗雷德霍姆積分方程的特殊情形。但是這兩類方程的本質是不同的。例如，第二種沃爾泰拉積分方程對於一切 λ值總可用迭代法求解，而第二種弗雷德霍姆積分方程卻出現瞭特征值問題；又如，第一種沃爾泰拉積分方程在一定條件下可以化為等價的某個第二種沃爾泰拉積分方程，而第一種弗雷德霍姆積分方程的討論卻困難得多。

　　弗雷德霍姆積分方程和沃爾泰拉積分方程的理論可以推廣到多個未知函數的方程組的情形。這時隻需要把φ(x)視為未知函數向量φ(x)=(φ₁(x)，φ₂(x)，…，φ_n(x))，K(x，y)看作n階方陣(K_ij(x，y))，i，j=1，2，…，n，ψ(x)=(ψ₁(x)，ψ₂(x)，…，ψ_n(x))看作已知函數向量。

　　D.希爾伯特和E.施密特對第二種弗雷德霍姆積分方程做瞭重要的工作，特別是關於對稱核積分方程的特征值存在性，對稱核關於特征函數序列的展開，以及希爾伯特 -施密特展開定理等。至於第一種弗雷德霍姆積分方程，早在1828年就為G.格林在研究位勢理論以解決拉普拉斯方程的狄利克雷問題時所導出。格林當時還指出，關於這類方程沒有一般的理論。20世紀初，E.施密特得到瞭方程(2)有解的必要條件。其後(C.-)É.皮卡指出，該條件在核K(x，y)的特征函數序列是完備時也是充分的。但是，這一結果並沒有提供一個一般的方便解法。第一種弗雷德霍姆積分方程的系統理論，尚未建立。

　　積分方程的核常是非連續的。例如，在一維空間，核K(x，y)是具有如下形式：

，式中0＜ α＜1， H( x， y)是有界函數。這樣的核稱為弱奇性核，相應的方程稱為弱奇性方程。可以證明，對弱奇性核施行如下運算：

，

（ p、 q都是正整數， K ⁽¹⁾( x， y)≡ K( x， y)，經 m次後，隻要 ，就得到一個有界核 K ^(m)( x， y)，而弱奇性消失瞭。由此可以證明，具有弱奇性核的積分方程同樣具備第二種弗雷德霍姆積分方程的一切性質。對於 n維空間的積分方程，也可以建立相應的結論。

　　奇異積分方程是與弗雷德霍姆積分方程有本質區別的一類方程。常見的奇異積分方程有兩種：一種是核具有主值意義的奇性，例如柯西核；一種是積分區域為無窮的積分方程，例如維納－霍普夫方程。

　　前一種奇異積分方程的理論是在弗雷德霍姆積分方程理論建立後的幾年中產生的。希爾伯特在研究解析函數的邊值問題中發現瞭這種奇異積分方程。幾乎同時，（J.-）H.龐加萊在研究潮汐現象時，也發現瞭它。他們的工作為這種方程奠定瞭理論基礎。這種奇異積分方程的一般形式為

式中 l是平面上光滑閉圍道，系數 A( t)、 K( t，τ)和 ψ( t)都是給定的在 l上按赫爾德意義連續的函數。方程中的積分在通常意義下是發散的，但在一定假設下，其柯西主值存在。這樣的方程稱為具有柯西核的奇異積分方程。此外，如下具有希爾伯特核的方程

也是一種主值意義下的奇異積分方程。對於這種奇異積分方程的研究成果及應用，蘇聯數學傢Η.И.穆斯赫利什維利於1946年發表的專著《奇異積分方程》作瞭系統的總結。

　　後一種奇異積分方程的重要例子是維納－霍普夫方程。它是20世紀20年代初在大氣輻射傳輸問題的研究中首先得到的，在許多實際問題中有重要的應用。

　　相應於弗雷德霍姆定理，對於上述兩種奇異積分方程有諾特定理（見奇異積分方程）。

　　近年來，非線性積分方程的研究，有瞭很快的發展。例如哈默斯坦型積分方程，即如下形式的非線性積分方程

式中 K( x， y)、 f( y， u)都是已知函數， f( y， u)關於 u是非線性的。自H.哈默斯坦於1930年提出以來，研究者不乏其人，而且已得到不少有意義的結果。對於非線性奇異積分方程也有不少結果，但是直到現在，對於一般的非線性積分方程還沒有系統的理論，即使是可解性的討論也很困難。

　　自抽象空間這個概念創立以來，如希爾伯特空間、巴拿赫空間以及算子理論的建立，使古典的積分方程以嶄新的面貌出現。例如，把積分方程(3)中出現的函數看作是巴拿赫空間X的元素，原來的積分運算以算子T代替，於是方程(3)就可寫為

　 (8)

　　這裡 T是巴拿赫空間 X中的一個 全連續算子， ψ是 X中一個已知元素，而 φ是 X中的未知元素。方程(8)的齊次方程 φ- λTφ=0，若對於某些 λ值有不等於零元素的解，則稱這些 λ值為算子 T的點譜，相應的元素稱為特征元素。對於方程(8)也有在巴拿赫空間 X中類似的弗雷德霍姆定理。算子 T的譜分解是重要的研究課題， J.馮·諾伊曼在這方面有豐碩的研究成果。

　　積分方程有廣泛的應用。微分方程某些定解問題的求解可歸結為求解積分方程。例如，為求解常微分方程初值問題

， y( x ₀)= y ₀， y′( x ₀)= y ₁，隻要在微分方程兩端積分兩次，並交換積分次序和利用初始條件，就得到與之等價的沃爾泰拉積分方程

類似地，對於常微分方程的邊值問題也可得到與之等價的弗雷德霍姆積分方程。又如， 偏微分方程中拉普拉斯方程的狄利克雷問題和諾伊曼問題，可分別利用雙層位勢和單層位勢作為中介而歸結為第二種弗雷德霍姆積分方程的求解，而且是等價的。粘性流體力學問題中的維納- 斯托克斯方程的定解問題也可化為非線性積分方程組。這種利用位勢求解微分方程的某些定解問題的方法，已有很多推廣，有相當多的一階或二階橢圓型方程組的某些邊值問題，引進類似於位勢的積分算子，往往可歸結為弗雷德霍姆積分方程或奇異積分方程。

　　在地質學中制作地球內部的精細三維圖問題。這種圖對勘探礦產、預報地震等等都很需要，但不能采用實驗的方法來制作，而隻能采取間接的方法解決，一般是借助尖端的精密儀器和人造衛星精確地定出地球外部點處的地球引力位勢，再利用引力位勢的方法歸結出關於地球內部密度的第一種弗雷德霍姆積分方程。在空氣動力學中研究分子運動，考慮非均勻流體中懸浮晶粒的佈朗位移和熱擴散，導致瞭以柯爾莫哥洛夫命名的一類積分方程。在確定飛機機翼的剖面時，需要對環流、升力、阻力等等效應進行計算，也往往導致一個積分方程。其他如中子遷移、電磁波衍射以及經濟學與人口理論等都導致奇異積分方程的研究。

　　中國有不少學者致力於積分方程的理論和應用方面的研究，得到瞭許多有意義的結果。