霍奇理論-百科詞條

　　關於調和微分形式的理論。

　　19世紀德國數學傢（G.F.）B.黎曼利用狄利克雷原理，將單複變數的代數函數及其積分，和一系列函數類的存在，建立在黎曼曲面的拓撲和勢的構造上。這門學問推廣到高維流形時，霍奇理論進一步揭示瞭分析與拓撲之間的深刻聯繫，給當代流形上分析的整體研究以巨大影響。這個理論為英國數學傢W.V.D.霍奇首創於30年代，而後為小平邦彥等數學傢大大發展與應用。

　　設M為n維黎曼流形，在局部坐標系(x¹，x²，…，xⁿ)中，黎曼度量表示成

。記矩陣 G=( g _ij)， G ^- ¹=( g ^jk)， g=det G。 M上的任一 r階 C ^∞微分形式 φ在該坐標系中可表示成 φ=

其中系數

均是 C ^∞函數且關於下指標反對稱。 M上的這種 r階形式全體記為 E ^r。設ψ∈ E ^r，令

，

定義

它不依賴局部坐標的選取。因此可用來定義 E ^r中的內積與范數：

　　在E^r上定義外微分算子d如下：對於函數f∈E⁰，df=

；對於

。令δ：

為d關於上述內積的形式共軛算子，即對於ω∈ E ^r ⁺¹，在 φ， ω二者之一有緊支集時成立( d φ， ω)＝( φ，δ ω)。定義 Δ： E ^r→ E ^r為

，稱它是 M上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。在 M是歐氏空間， r=0的情形，Δ即為普通的拉普拉斯算子。

　　利用線性算子*：E^r→Eⁿ^n-^r(*算子或霍奇算子)可將δ，從而Δ明確地局部表示出來。算子*滿足條件

。在局部坐標系中，它可寫成

這裡

是指標( j ₁… j _r k ₁… k _n _- _r)的置換符號，

，這裡I為恒同算子，(* φ，* ψ)=( φ， ψ)。利用這些性質可以推出

。上述這些算子尚有下列關系：

，

。

　　滿足方程dφ=0的φ稱為閉微分形式。若存在α，使φ＝dα，則φ稱為正合微分形式。由於d²=0，正合形式必是閉的。若dφ=0，δφ=0同時成立，稱φ為調和微分形式。德·拉姆定理指出，德·拉姆上同調群{閉的r階C^∞微分形式}/{正合的r階C^∞微分形式}與實系數的r階奇異上同調群同構，而霍奇理論即要表明在每個上同調類中是否存在調和的微分形式。

　　緊黎曼流形　設M是緊的黎曼流形，則Δφ=0意味著φ調和，因為(Δφ，φ)＝(dφ，dφ)+(δφ，δφ)，從而dφ=0，δφ＝0。記l^r為E^r按上述范數完備化的希爾伯特空間，那麼d，δ，Δ均可擴充定義到整個l^r上。這時δ為d的共軛算子，Δ為自共軛的橢圓型算子。對於Δφ＝α的任一弱解φ，在α是C^∞微分形式時，φ也是C^∞的。因此任一調和微分形式均是C^∞光滑的。以H^r記M的r階調和微分形式全體，P：l^r→H^r為射影算子，那麼霍奇理論的中心結果為下述分解：

　　①lr=Δ(lr)

H ^r=d( lr ^_ ¹)

δ( lr ⁺¹)

H ^r。

　　易知對任一α∈Δ(l^r)，Δφ=α在Δ(l^r)中的解惟一。

　　② 存在格林算子G：l^r→Δ(l^r)，Gα=φ，對β∈H^r，Gβ=0。

　　由定義，GP=PG=0，P+ΔG =I，Gd=dG，Gδ=δG，於是對每個φ∈l^r，dφ=0者，由①得φ=dδGφ+Pφ。它表明調和形式Pφ與φ在同一個德·拉姆上同調類內，且是這個類中惟一的調和形式。

　　③ 實系數的r階奇異上同調群與r階調和形式空間H^r同構。

　　④ H^r為有限維向量空間。若記h^r=dimH^r，ⅹ(M)為M的歐拉示性數，則ⅹ(M)=∑(-1)^rh^r。

　　如果考慮帶有某種奇性的微分形式所構成的希爾伯特空間時，就得到黎曼曲面上第二、三類阿貝爾微分的推廣。

　　全純向量叢　設π：E→M是秩為l的全純向量叢。M是緊的復m維埃爾米特流形。令A^{(^p，^q)}(E)為系數在E中的C^∞(p，q)形式全體。{T_jk}是定義在M的坐標覆蓋{U_j}上能確定E的轉移函數矩陣。這時φ∈A^{(^p，^q)}(E)在U_j上表示成

這裡

在 U _j∩ U _k上成立

這裡

是矩陣 T _jk的元素，均是全純函數。定義

。因為

，所以這個定義不依賴局部坐標的選取。

　　E的纖維上的埃爾米特形式是由每個U_j上給出一個正定形式

確定的。以 h _j記矩陣(

)，那麼應滿足條件

。設 M上的埃爾米特度量在 U _j上表示為

，在 A ^{(^p，^q)}( E)內引入內積如下：對於 φ，ψ∈ A ^p， ^q( E)，記

。這裡

然後內積與范數分別為

　　令

為 ∂關於上述內積的共軛算子，作

E值( p， q)形式 φ稱為 ∂閉的，如果 ∂ φ=0，稱為 ∂正合。如果存在 α∈ A ^p， ^q ^_ ¹( E)使 φ= ∂ α，且□ φ=0，稱 φ為調和的 E值( p， q)形式。它等價於 ∂ φ=0， ∂ ^* φ=0同時成立，記其全體為H ^p， ^q。令 l ^p， ^q為 A ^p， ^q( E)按上述范數的完備化，它到H ^p， ^q的正交射影仍記為 P，那麼成立：

　　② 存在格林算子G：l^p，^q→□(l^p，^q)，在□(l^p，^q)上一一。Gφ=0，φ∈H^p，^q。□G+P=I。

　　③ 若φ為閉形式，則Pφ與φ在同一個多博爾特上同調類即

/{ ∂-正合的 E值( p， q)形式}。

　　④H^p，^q為有限維向量空間。

　　凱勒流形　設M為緊的凱勒流形，它的凱勒度量為

。將它看做 M上的埃爾米特度量，考慮 M上的平凡線叢 E= M× C及 C上的歐氏度量。按上面的構造方法有對應的算子□。另一方面

作為 M上的黎曼度量有對應的算子Δ。在凱勒條件下成立Δ=2□。因此除瞭前面的一些結論外，尚有

若記

，則 x( M)=

。一個簡單的推論即為凱勒流形的第奇數個貝蒂數為偶數。

　　當M是非緊流形時，對於不同的微分形式所構成的希爾伯特空間有相應的空間分解。當M為某個流形上有邊界的區域時，將導致各類紐曼問題。特別地，當M是復流形中有光滑邊界的區域時，產生著名的∂-紐曼問題，它對於多復變函數論、超定微分方程組、擬微分算子等學科的發展起瞭重大作用（見多復變函數論）。

　　由霍奇理論可知底流形的拓撲影響著調和形式的存在與否，存在多少；反過來，由流形的度量往往能夠知道調和形式的存在與否，從而產生瞭許多上同調群的消隱定理。

參考書目

　W.V.D.Hodge，The Theory and Applications of harmonic Integrals，2nd ed.，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1952.

　K.Kodaira，Harmonic Fields in Riemannian Manifolds，Ann.of Math.，50，pp.587～665，1949.

　K.Kodaira，On a Differential-Geometric Method in the Theory of Analytic Stacks，Proc.nat.Acad.Sci.U.S.A.，39，pp.1268～1273，1953.

　J.J.Kohn，Harmonic Integrals on Strongly Pseudoconvex Manifolds，I，Ann.of Math.，78，pp.112～148，1963;Ⅱ，Ibid，79，pp.450～472，1964.

　S.Nakano，On Complex Analytic Vector Bundles，J.Math.Soc.Japan7，pp.1～12，1955.