混合型偏微分方程

　　簡稱混合型方程。一偏微分方程在所考慮的區域的某一部分上是橢圓型的，在另一部分上是雙曲型的，這些部分由一些曲線(或一些曲面)所分隔，在分界線(面)上方程或者退化為拋物型的，或者是不定義的，這樣的方程稱作混合型方程。混合型方程的研究歷史比較短。1923年，義大利F.G.特裏科米最先研究瞭方程

(後稱為特裏科米方程)，它在 <y＞0半平面是橢圓型的，在 y＜0半平面是雙曲型的，直線 y=0是它的蛻型線。對此方程特裡科米提出瞭一種新的邊值問題（後稱為特裡科米問題）：設區域 Ω的邊界由 σ、Г ₁和Г ₂所組成，其中 σ為以 x軸上二點 A與 B為端點而在上半平面上的若爾當光滑曲線，Г ₁和Г ₂是在下半平面上經過 A、 B這二點的方程的兩條特征線，並相交於 C點。邊界條件隻給在 σ和Г ₁上： u= f( x， y)在 σ上， u＝ ψ( x)在Г ₁上。該方程在 Ω上的正則解，即解在閉域 Ω上連續，它的一階微商除 A與 B點外在 Ω上連續，而在這兩點上微商趨於無窮的階數小於1，二階微商除 x軸上的點外在 Ω內連續。且假定瞭曲線 σ在 A與 B點附近滿足特殊的要求。特裡科米通過解奇異積分方程問題證明瞭這個問題解的存在性。自特裡科米的工作之後，混合型方程，特別由於它與跨音速、超音速流動理論有著直接聯系而引起瞭廣泛的重視，從40年代起不斷有人對它進行研究，基本上在三個方面開展工作：①提出新的邊值問題，並證明解的存在性和惟一性；②尋求新的研究工具和途徑，且不斷減弱在證明可解性時所附加在方程系數和邊界曲線上的限制；③利用混合型方程解決氣體動力學、幾何學和彈塑性力學中的各種問題。

　　美國數學傢K.O.弗裡德裡希斯在50年代末建立瞭正對稱方程組的理論，在一定意義下統一地處理雙曲、拋物、橢圓以及混合型方程的邊值問題。將此理論應用於混合型方程的研究，不僅得到瞭一些適定的新的邊值問題，而且也提供瞭新的研究工具：能量不等式、強弱解一致性和解的可微性等。同時還促進瞭多個自變量的和非線性的混合型方程的研究。混合型方程的研究還與彈性薄殼無旋理論、幾何曲面變形理論以及其他物理、力學問題等有著廣泛的聯系。

　　除上述那種方程外，還有一類方程(方程組)，它們是在域的某些點集(包括邊界點)上發生型的蛻化，但在區域上並不同時出現有橢圓型和雙曲型。這類方程(組)被稱為退化方程（組）。退化方程（組）可分為退化拋物型方程、退化橢圓型方程（二者合在一起還稱為具有非負特征的方程）、退化雙曲型方程（組）等。退化方程（組）在邊界層理論、無旋薄殼理論、滲流理論、擴散過程理論及其他許多物理和力學問題中遇到。混合型方程的研究更促進瞭對退化橢圓型方程和退化雙曲型方程的深入研究。這類方程（方程組）基本上在兩個緊密聯系的方向上開展研究：①證明邊值問題的可解性，在此考慮到由於型的蛻化而在問題提法上的改變；②研究解的性質，特別是建立類似於非退化方程的解的性質。