通過各種積分考察圖形性質的一門學科,本質上屬於整體微分幾何範疇。它起源於幾何概率的研究,其發展也始終和幾何概率聯繫著。積分幾何的研究從歐氏平面和三維歐氏空間開始,逐步拓廣到高維歐氏和非歐空間,然後概括到滿足一定條件的齊性空間。
常曲率空間的積分幾何 主要有以下幾種:
歐氏平面的積分幾何< 每個積分都和一定的密度和測度相聯系。例如,在歐氏平面E2上,若(x,y)為一點P的直角坐標,則區域D上的二重積分
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在E2上,一個典型的,和點密度相聯系的克羅夫頓積分公式是
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歐氏平面上也有不變直線密度。設p是從坐標原點O到直線G的垂直距離(p≥0),φ是由O到G的垂線同坐標橫軸所作的有向角(0≤φ<2π)(圖2),則直線密度dG=dp∧dφ。與直線密度相聯系的一個著名的克羅夫頓公式是
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把E2上的點密度和直線密度作種種不同的結合,就得到點偶(P1,P2),線偶(G1,G2),點線(P,G),以及三點組(P1,P2,P3)等等的幾何對象的密度,並推得許多積分公式。例如,若σ是閉凸線C在直線上的弦長,則M.W.克羅夫頓給出瞭
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一種十分重要的不變密度叫做運動密度。在E2上,設圖形K在平面上作剛體運動,P是隨意選定的,同K相固連,並同K一起運動的點,φ是同K相固連的任意有向直線與固定的坐標橫軸所作的有向角(0≤φ<2π)(圖5),則三次微分式dK=dP∧dφ就是K的運動密度。由W.J.E.佈拉施克給出的所謂運動主要公式是
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n維歐氏空間的積分幾何 在n維歐氏空間En裡,同樣有點密度,直線密度,以至r維線性子空間密度(r≤n-1),也有運動密度,它們在剛體運動下都不變。在En,特別是在普通的三維歐氏空間,已經有大量的成果,例如在En裡,陳省身、嚴志達給出的運動主要公式是
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非歐空間的積分幾何 把歐氏空間的積分幾何的基本概念推廣到非歐空間,就可以建立非歐積分幾何,L.A桑塔洛推得瞭n維非歐空間運動主要公式。
齊性空間的積分幾何 歐氏(和非歐)空間積分幾何的基本概念還可以推廣到滿足一定條件的齊性空間。已給微分流形M,若有一個李變換群
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若Г是李變換群
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研究動向 關於齊性空間積分幾何的一般原理已富有成效地用於埃爾米特幾何學和辛幾何學。但這些方面的工作仍有待於繼續展開。
運用葉層空間的理論,可以對齊性黎曼空間中一些短程線集合和點集合引進具有某種不變性的密度,並得到一些積分公式和結果,其中有些是常曲率空間結果的推廣。
近20年來,求一種拉東變換的逆變換的課題也納入瞭積分幾何范疇。設X為微分流形,M(u)是X的一族子流形,它們依賴於參數u1,u2,…,un,dσ(u)是M(u)上適當選定的微分齊式。已給X上的函數f(x)(x∈X),令
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簡史 幾何概率的研究要以有關的圖形集合的測度為基礎,因而自然要導致積分幾何的建立。一般認為,最早的幾何概率問題是 G.-L.L.de佈豐提出並解決的投針問題:設在平面上有一組平行線,其行距都等於D;把一根長度l<D的針隨機地投上去,則這根針和一條直線相交的概率是2l/πD。到19世紀下半葉,克羅夫頓已獲得瞭一系列的積分公式;它們至今仍然是積分幾何中很基本的公式,其特點是概括性高而推導簡潔。但就在此時,J.L.F.貝特朗卻發現,對於同一個幾何概率問題,對有關測度的不同要求會導致互相矛盾的解答。後來H.龐加萊指出,隻須要求所采用的測度在一定變換群下不變,那樣的矛盾就不會出現。從此,幾何概率同變換群相結合,形成瞭積分幾何的理論基礎,成果日漸豐富。1935年起,佈拉施克及其合作者在“積分幾何”這個總標題下發表瞭一系列論文,積分幾何就開始作為幾何的一個分支獲得瞭系統而深入的發展。其中,陳省身作出瞭卓越的貢獻,齊性空間積分幾何的理論就是他和A.韋伊建立起來的。在齊性空間裡,他引進瞭一種較一般的關聯概念,並在此基礎上獲得瞭克羅夫頓公式的一種推廣,他還推得瞭En裡緊致流形的一般運動公式,作為運動主要公式的補充。桑塔洛是佈拉施克最早的合作者之一,他畢生致力於積分幾何的研究,時間最長,成果廣泛而豐富,所著《積分幾何與幾何概率》一書是迄今為止這方面最完備的專著。
中國較早從事積分幾何研究的還有吳大任,他第一次把歐氏空間積分幾何的基本成果(包括運動主要公式在內),推廣到三維橢圓空間。他還證明瞭關於E2和E3裡凸體弦冪積分的一系列不等式。中國學者還獲得瞭其他若幹成果,例如,任德麟推得瞭n維歐氏空間和非歐空間裡含在一個凸體內的定長線段測度公式,把關於弦冪積分的不等式推廣到En,並且推廣瞭佈豐投針問題。
由於積分幾何是和概率以及統計緊密聯系著的,它在許多學科(如生物學、醫學、礦物學、金屬學,以至物理、天文、建築、聲學等)中都有應用。隨著電子計算機性能的迅速提高,使用的日益廣泛,這種應用正方興未艾。已經出現瞭“隨機幾何學”和“數理生態學”這樣的學科名稱。這方面,所采用的方法之一是所謂的立體度測法:簡單地說,有些幾何對象的立體性質隻能通過對它們的直線截痕或平面截痕的大量觀測來推算,積分幾何就在這裡提供瞭理想的工具。
參考書目
W.Blaschke,Vorlesungen Über Integralgeometrie,Aufl.3,Deutscher Verlag der Wissenschaften,Berlin,1955.
M.G.Kendall and P.A.P.Moran,Geometrical Probability,Griffin,London,1963.
L.A.Santalò,Integral Geometry and Geometric Probability,Addison-Wesley,Reading,Mass.,1976.