級數

　　級數理論是分析學的一個分支；它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現在其餘各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續兩個方面，結合起來研究分析學的物件，即變數之間的依賴關係──函數。在微積分學中基本變數是一般的連續變數x（代表具體的變數如時間t、路程s，品質m等等），取值於於這個或那個區間，極限過程也是多種多樣的；在級數理論中基本變量就是離散變量n，其值為全體自然數：n=1，2，3，…。這裡極限過程隻有惟一的一個，即n無限增長，趨向無限：n→∞。這裡任一函數u(n)的值u(n)=u_n自然形成一個序列u₁，u₂，u₃，…，u_n，…；而這個序列{u_n}也就完全表達瞭函數u(n)。

　　一個級數（無窮級數）是由一個序列{u_n}經過“逐一加下去”的無限過程而產生的和數序列：

　　 (1)

簡記為 u ₁+ u ₂+…+ u _n+…。通常稱 u _n為這級數的一般項， s _m為其部分和，並常用縮寫記號

在 m無限增長的過程中，如果部分和 s _m趨向於一個極限 s，那麼就稱 s為級數的“和”，並寫成 。這實際上就是

。　 (2)

如果部分和 s _m的極限 s作為一個有限數而存在，就說級數 是收斂的並以 s為其和數。否則，就說這級數是發散的，沒有和數。

　　所以，按照習慣瞭的極限觀點，一個級數在且隻在它收斂時才像一個有限和一樣具有一個惟一確定的和數。級數的和數與代數中的和數的區別隻在於被加項的個數是無限的。這是級數概念發展的基本出發點。

　　最早出現在古代的級數是幾何級數(等比級數)

，它有部分和

因而當且僅當｜ r｜＜1時收斂。

　　一個一般的級數，其部分和不一定具有這樣簡單的結構，這時首先需要直接從級數的項判斷級數的和是否存在，即級數是否收斂。然後就需要考慮這級數的和，作為無限項的和，繼承瞭或保存著有限和的哪些性質，或者有限和的某個性質在什麼條件下能夠傳遞給級數的和。這兩個問題，收斂問題與性質問題，便是級數理論的基本問題。

　　級數收斂的原意是它的部分和序列收斂；所以，如果不進一步涉及級數結構的特殊性質，則級數收斂的必要充分條件不外是關於其部分和序列s_m的柯西收斂原理：

｜s_m-s_n｜任意小，隻要m和n充分大。 (3)

取 m= n-1，即得級數 收斂的一個必要條件：

u_n→0。　　　　 (4)

於是級數的收斂問題，隻在一般項是無限小量的前提下，才是值得考慮的問題。

　　一般說來，單純從數量上看，級數與序列是相互確定的：s_m按(1)由u_n確定；u_n按恒等式

由 s _m確定。但是，在概念上，級數不同於序列：它隱含著無限次加法，意味著施行於序列的一種運算 這種運算在有效（即收斂）的情形，給出一個“可數無限”的和數，類似於定積分的運算在有效（即可積）的情形給出一個“連續無限”的和數（即積分的值）。正是級數的這種運算特征使它不同於序列而類似於積分，而有這樣類似的基本性質：

　 (5)

這一切都是在“和數”存在──即級數收斂的前提下來考慮的。一般地，考慮級數理論的基本問題時，總是首先考慮收斂問題，然後考慮性質問題。

　　單調收斂　收斂性的最簡單形式。

　　正項級數　代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數

的部分和 s _m= u ₁+ u ₂+…+ u _m隨著 m單調增長，等價於級數的一般項 u _n≥0(因此，有時也稱為非負項級數)。於是級數(∑ u _n)收斂等價於部分和( s _m) 有界。項越小，部分和就越傾向於有界，因而正項級數有比較判別法：

。　 (6)

同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向於有界，因此正項級數又有比值判別法：

(7)

　　取幾何級數∑rⁿ作為比較標準，則有

； 　 (8)

。　 (9)

事實上，這都在於斷定 u _n的大小數量級：

，其中 B為有界變量，Л+ δ＜1。

　　單調正項級數　當正項級數的項u_n單調遞減趨於0時，自然地容易擴充成一個單調的連續函數u(x) 使得u_n=u(n)→0。這樣便可直觀地把無窮級數同無窮積分進行比較而得到積分判別法：

。　 (10)

而且，一旦這樣轉到連續變量，就可以利用連續變量的變換於積分而進一步得到指數變換判別法（葉爾馬科夫判別法）：

。　 (11)

　　由此易見，p階調和級數

以及對數調和級數 都是在 p＞1時收斂，在 p≤1時發散。

　　正項級數的運算　正項級數在運算過程中很像有限和。它不僅具有一般的線性性質(5)，而且它的項可以無限次交換，無限次分配：

，

，

其中 p( n)指自然數序列的任一排列， 指對第一象限中坐標為自然數的點的任一排列（成一序列）進行求和（成一級數）。

　　絕對收斂　收斂性的一種強化形式。

　　交錯級數　正項級數之外，如果一個級數沒有正項，或者隻有有限個正項，或者隻有有限個負項，則其收斂問題都可以歸結到一個正項級數的收斂問題，所以隻需考慮一個級數既有無限個正項又有無限個負項的情形。在這種級數中，結構最簡單的是正負號逐項相間的級數，叫做交錯級數：

。(12)

對此有

　　萊佈尼茨定理　若一交錯級數的項的絕對值單調趨於零，則這級數收斂。

　　顯然，一個交錯級數在形式上可以看成兩個正項級數之差：

。

同樣，每一個級數在形式上都可以看成兩個正項級數(即這級數的“正部分”與“負部分”）之差：

，　　　(13)

式中

，

。

不過，這樣分解隻有當分解成的級數(13)都收斂的前提下才是有意義的，這就導致人們來考慮一個級數逐項取絕對值後所得到的正項級數

　　　(14)

是否收斂的問題。

　　絕對收斂的級數　一個收斂的級數，如果在逐項取絕對值之後仍然收斂，就說它是絕對收斂的；否則就說它是條件收斂的。

　　簡單的比較

就表明，隻要∑｜ u _n｜收斂就足以保證 收斂；因而分解式(13)不僅表明∑｜ u _n｜的收斂隱含著原級數∑ u _n的收斂，而且把原級數表成瞭兩個收斂的正項級數之差。由此易見，絕對收斂級數同正項級數一樣，很像有限和，可以任意改變項的順序以求和，可以無限分配地相乘。

　　但是條件收斂的級數，即收斂而不絕對收斂的級數，決不可以這樣。這時(13)式右邊成為兩個發散(到＋∞)的、其項趨於零的、正項級數之差，對此有黎曼定理。

　　黎曼定理　一個條件收斂的級數，在其項經過適當的排列之後，可以收斂到一個事先任意指定的數；也可以發散到＋∞或－∞；也可以沒有任何的和。

　　一致收斂　收斂性與函數連續性結合的最重要的形式。

　　函數級數　如果級數的每一項依賴於一個連續變量x，u_n=u_n(x)，x在一個區間α≤x≤b上變化，這個級數就成為一個函數項級數，簡稱函數級數，記為

。　　 (15)

這裡 x的值自然被分成兩類 C和 D，使得當 x屬於 C時級數收斂，當 x屬於 D時級數發散。幾何級數∑ r ⁿ事實上就是一個函數級數，它的收斂范圍是一個區間(－1＜ r＜1)。微分學裡的泰勒級數代表著一類函數級數，形如

， (16)

稱為 冪級數。這種級數，作為幾何級數的一種推廣，其收斂范圍 C仍然是一個區間（以 x= x ₀為中心，帶或不帶端點，有限或無限，或退化成一點）。這種級數，當 x換成復變量 z之後，成為研究 復變函數的一個基本工具（見 復變函數論）。積分學裡的 傅裡葉級數代表著另一類函數級數，形如

，(17)

稱為 三角級數。這種級數是研究實變函數的一個重要工具，它們的收斂范圍一般很復雜，對它們的研究促使瞭 G.（F.P.）康托爾創建集合的基礎理論（見 實變函數論、 傅裡葉分析）。

　　一般說來，一個函數級數的和函數，作為一個無限項的和，不是在它的整個收斂集C上，而是隻在C的某種帶有限制的部分C₁上，才像一個有限項的和。下面試從C的某一點x出發來看級數(15)的收斂性。這級數在這一點x處收斂，就是說，它的部分和s_m(x)收斂到一個和數s(x)，也就是說：對於任意一個正數

都有

，

隻要 m充分大。這個不等式還可能對於 C的其他一些點 x也成立。如果這個不等式在 C的某一部分 C ₁上處處成立，這就意味著 s _m( x)這個函數在集合 C ₁上一致地近似於 s( x)這個函數，精確度（處處）在 以內。而如果這在 C ₁上對於每一個正數 都成立隻要 m充分大，那就意味著這一序列函數 s _m( x)，或者就說是函數級數∑ u _n( x)本身，在 C ₁上一致地無限逼近於函數 s( x)，或者簡單地說， s _n( x)一致地收斂到函數 s( x)。這樣，原來的收斂概念，在與函數概念結合之後，就發展成為適合於函數級數的一種收斂概念。

　　一致收斂的級數　一個函數級數

說是在一個集合 C ₁上一致地收斂到它的和函數 s( x)，是指對於每一個正數 都存在一個自然數 N（不依賴於 x），使得當 m＞ N時

，(18)

對於一切屬於 C ₁的 x都成立。

　　這時級數的和函數s(x)，作為一個無限項的和，便可在整個集合C₁上通過特征性質(18)繼承有限項和的一些分析性質。

　　逐項積分定理 設函數級數

在有限閉區間 α≤ x≤ b上一致地收斂。於是，若級數的各項都連續，則級數的和也連續並且可以逐項積分：

。　 (19)

　　關於逐項微分，沒有直接類似的定理（因為一致小的函數r_m(x)的導數可以任意大）；但是通過微分與積分的互逆關系（微積分基本定理）能夠把上述定理轉變成逐項微分的形式。

　　逐項微分定理 　設函數級數

在區間 α＜ x＜ b內收斂，各項都具有連續的導數。於是，若逐項取導數所得的級數在該區間內一致收斂，則原級數的和也具有連續的導數並且可以逐項微分：

。(20)

　　級數在逐項取絕對值之後就成為正項級數，顯然可以依一致收斂性進行比較，特別是用一個常數級數進行比較，便有M判別法。M判別法　設函數級數

在一集合 C ₁上受常數級數 控制：

。　　 (21)

於是，若 收斂，則 在 C ₁上一致收斂。

　　函數的級數展開　一個函數級數在其收斂范圍內代表一個函數，即它的和：當和函數未給定時，級數是定義這函數的一種方式；當和函數已給定時，級數是揭示這函數依賴於基本變量的規律的一種方式──函數的級數展開。微積分在創建的初期通過形式處理得到瞭許多初等函數的級數展開，最重要的有

　 (22)

但隻是到瞭（約200年之後）一致收斂概念明確的時候才證實，這種冪級數展開在收斂區間內可以逐項微分和積分並且收斂（區間的）半徑 r不變（在前三個中 r＝1，後三個中 r＝∞，而第一個當 α為零或正整數時化為多項式因而也有 r＝∞）。這時人們才嚴密地證明瞭，冪級數在其收斂區間內能夠完全代表它的和函數參加分析運算。於是可以逐項微分任意多次，所以這冪級數本身就是它的和函數在收斂區間中心處的泰勒級數，因而是惟一的。據此，一個泰勒級數的系數不一定要單純通過累次微分 而可以通過某些冪級數的分析運算來求得。這就使人們能夠補充基本展開表(22)中所缺少的相當於tan x的展開，它不能像反三角函數那樣通過逐項積分得到(因為沒有現成的冪級數展開作出發點)，也不能象其他基本初等函數那樣通過直接求累次微分得到（因為微分次數越多計算越復雜）。現在利用冪級數展開的惟一性便可嚴密地證明：

，(23)

式中 B _{2 n}是伯努利數，確定於展開式

。 　 (24)

　　至於三角級數展開式的惟一性，則像它的收斂集一樣復雜，成瞭三角級數理論研究的一個基本問題。

　　函數的級數展開具有如下共同的形式：

。 (25)

這個形式的級數，作為冪級數的推廣，其收斂問題的分析仍舊可以利用 N.H.阿貝爾在研究冪級數的收斂問題時所引進的部分求和法。

　　部分求和法　設

，則有恒等式

\ n

　 (26)

這個方法（類似於分部積分法）立即給出：

　　① 級數(25)在一個集合C₁上一致收斂的一組充分條件是，級數∑α_n收斂而序列v_n(x)在C₁上一致有界並且處處單調。

　　② 級數(25)在一個集合C₁上一致收斂的一組充分條件是，級數∑α_n有界而序列v_n(x)在C₁上一致收斂到0並且級數

在 C ₁上一致收斂。

　　這兩個結果都是萊佈尼茨交錯級數定理的推廣。

　　廣義收斂　收斂概念的近代發展。

　　漸近級數　在所考慮的問題隻需註意基本變量x充分大的情形，相當於過程x→+∞，這裡函數的級數展開就要依

的冪來進行，而展開的意義在於每增加一項就要有一項的效果（ α→0當 x→+∞）：

，(27)

　　 m=1，2，3，…。這時，在xy坐標平面內，這一序列部分和s_m(x)作為函數，其代表曲線y=s_m(x)都是原來函數y=f(x)的漸近線（直的或曲的），每一個比前一個更切近於曲線y=f(x)。因此，采用H.龐加萊的用語就是，級數

是一個漸近級數，漸近地代表著函數 f( x)。通常把這簡記為

。　 (28)

　　這樣的漸近級數雖然往往是發散的，但仍可以代替它所漸近表示的函數參加四則運算，隻要作為除數的級數的常數項不為0；也可以逐項微分，隻要函數的導函數f′(x)確實具有漸近展開；還可以逐項積分，隻要把形式關系

理解為

。

因此漸近級數可以（通過待定系數法）用於求解微分方程。當然，在原來意義下可用於近似計算，例如斯特林公式

　　(29)

中的級數雖是發散的卻是漸近的（式中的 B _n就是式(24)中的伯努利數），隻需取前幾項就能夠算得（準確到小數點後10位的）近似值：

lg(1000!)=2567.…。

　　發散級數　最早的函數的級數展開

， (30)

在 x=-1時給出

。 (31)

這個悖論式的等式在級數理論的發展過程中不時激起人們的思索。萊佈尼茨認為這應從這個級數的部分和所可能取的值(1，0，1，0，…)的算術平均來理解。 L.歐拉認為在涉及級數的分析研究中應堅持函數觀點：一個有限的分析表達式的（冪）級數展開應在分析運算中當作該表達式的等價物，因而級數的和就是它所由之而來的分析表達式的值。這些看法啟發瞭人們，對一個級數，甚至它是發散的，是否仍可以考慮它在廣義意義下的和。一般說來，就函數的級數展開的特定形式(25)而論，隻要它對於充分大的 x都成立而又當 x→＋∞時有

　　 (32)

且極限值 f(＋∞)作為函數的邊界值是一有限數，那麼就可以說系數級數 在依函數序列{ v _n( x)}的展開中可和到 f(+∞)，以 f(+∞)為廣義和，並把這種邊值收斂關系簡單地記為

。　(33)

　　不過，如果要取定{v_n(x)}作為一種廣義和的參考系，就應當事前適當地選取函數v_n(x)使得所產生的這種求和法是正規的，即每一個收斂級數∑α_n都可和到它原有的和A。這通過阿貝爾部分求和法(26)可以用級數的部分和A_n表示成

，(34)

其中

。 (35)

這樣，這個求和法為正規的一個必要充分條件是，對 x一致地有

； (36)

而前提條件(32)在這裡變成

　 　(37)

可見廣義收斂乃是級數的部分和按一種平均意義理解的收斂；所以隻要極限(34)存在 ，都說級數 在以 w _n( x) 為權的帶權平均的收斂過程中（平均）可和到 A，並簡記為

。　　 (38)

等式(33)和(38)代表著同一種求和法的兩種形式，(V)與(W)，其轉換關系見於(35)，亦即

。　　　 (39)

　　最常用的求和法都是正規的。其中有阿貝爾求和法(A)，相當於

， ；

波萊爾求和法(B)，相當於

；

算術平均求和法(M)，相當於

m＝[ x]為 x的整數部分；切薩羅求和法(C， k)，相當於

m＝[ x]為 x的整數部分。

　　波萊爾還把他的求和法(B)轉換成邊值形式並取其簡化形式如

，

簡記為

(B′)。

在轉換中的誤差項 這一前提下，(B′)與(B)等價；一般情形，隻能由(B)推到(B′)。這種求和法能夠使很廣泛的一類復項冪級數∑ b _n z ⁿ在其收斂圓外可和，並且可以逐項積分。為瞭可以逐項微分，波萊爾提出瞭絕對可和的附加條件，即這樣一序列無窮積分都絕對收斂

。

這種求和法不是正規的；隻是限於絕對收斂的級數而言才是正規的。但它使冪級數的分析運算（加、減、乘、逐項微分、逐項積分等）可以在收斂圓外如同在收斂圓內一樣進行，因而很有效地擴大瞭冪級數的應用范圍，特別是很適合於（通過待定系數法）求解微分方程，如同漸近級數那樣。

　　對於兩種求和法W與W₁，我們說W₁比W強，意思是每一個W可和的級數都一定W₁可和到相同的和，但反過來不成立。例如(B′)比(B)強，(A)比(C，k)強。這種斷定可和性強弱的定理稱為阿貝爾型定理。一個阿貝爾型定理的逆定理不成立，無非是說不能無條件地反過來，因而也就是說在適當的補充條件之下能夠反過來。說明這種補充條件的充分性定理稱為陶伯型定理。如一個阿貝爾可和的級數

，隻要 ，就必定是收斂的。

　　純數量上，一個（無窮）級數永遠等同於一個（無窮）積分

，　 　(40)

[ x]為 x的整數部分。所以級數的理論中隻有基本變量 n的離散性在其中根本上起著簡明性的作用的那些部分才能保持其特有的級數形式；否則遲早都會在普遍化的進程中過渡為積分的形式。例如A.普林斯海姆關於正項級數的系統研究取級數形式，而N.維納關於陶伯型定理的研究取積分形式。

　　發散級數求和的理論是收斂級數研究的擴展，它擴大瞭分析學嚴密理論的適用范圍，有效地揭示瞭函數的分析性質與數量關系，在傅裡葉分析與函數構造論中有許多應用。

　　簡史　歷史上級數出現得很早。亞裡士多德（公元前4世紀）就知道公比小於1（大於零）的幾何級數具有和數，N.奧爾斯姆（14世紀）就通過見於現代教科書中的方法證明瞭調和級數

發散到＋∞。但是，首先結合著幾何量明確到一般級數的和這個概念，進一步脫離幾何表示而達到級數和的純算術概念，以及更進一步把級數運算視為一種獨立的算術運算並正式使用收斂與發散兩詞，卻是已接近於微積分發明的年代瞭(聖文森特的格雷果裡1647、 J.沃利斯1655、 J.格雷果裡1667)。事實上，從古希臘（阿基米德時代）以來，積分的樸素思想用於求積（面積、體積）問題時，就一直在數量計算上以級數的形式出現。收斂級數的結構，以其諸項的依次加下去的運算的無限進展展示著極限過程，而以其餘項的無限變小揭示出無限小量的作用。級數收斂概念的逐漸明確有力地幫助瞭微積分基本概念的形成。

　　微積分在創立的初期就為級數理論的開展提供瞭基本的素材。它通過自己的基本運算與級數運算的純形式的結合，達到瞭一批初等函數的(冪)級數展開。從此以後級數便作為函數的分析等價物，用以計算函數的值，用以代表函數參加運算，並以所得結果闡釋函數的性質。在運算過程中，級數被視為多項式的直接的代數推廣，並且也就當作通常的多項式來對待。這些基本觀點的運用一直持續到19世紀初年，導致瞭豐碩的成果（主要歸功於歐拉、雅各佈第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅裡葉）。

　　同時，悖論性等式的不時出現（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之類)促使人們逐漸地自覺到級數的無限多項之和有別於有限多項之和這一基本事實，註意到函數的級數展開的有效性表現為級數的部分和無限趨近於函數值這一收斂現象，提出瞭收斂定義的確切陳述，從而開始瞭分析學的嚴密化運動（B.波爾查諾1817、柯西1821、阿貝爾1826）。

　　微積分基本運算與級數運算結合的需要，引導人們加強或縮小收斂性而提出一致收斂的概念［K.（T.W.）外爾斯特拉斯(1841)、G.G.斯托克斯（1847）、P.L.von賽德爾(1848)］。然而（在天文學、物理學中，甚至在柯西本人的研究工作中）函數的級數展開，作為一整個函數的分析等價物，在收斂范圍以外的不斷的成功的使用，則又迫使人們推廣或擴大收斂概念而提出漸近性與可和性(龐加萊，1886；切薩羅，1890；波萊爾，1895)。

　　級數理論中的基本概念總是在其樸素意義獲得有效的使用的過程中形成和發展的。

　　

參考書目

　G.H.Hardy，A Course of Pure Mathematics，10th ed.，Cambridge Univ.Press，London，1958.

　Th.J.I'A Bromwich，An Introduction to theTheory of Infinite Series，2nd ed.，Macmillan，London，1942.K.Knopp，Theorie und Anwendung der UnendlichenReihen，Aufl.4，Springer-Verlag，Berlin，1947.

　G.H.Hardy，Divergent Series，Oxford Univ.Press，London，1949.