證明運算元有界性的一種數學方法。如果運算元T是Lp到Lq的有界運算元，即對所有的f∈Lp，有Tf∈Lq，且滿足
式中
M是算子的界，與
f無關，就稱
T是強(
p，
q)型的。最早也是最典型的算子內插定理是裡斯-索林定理。
裡斯－索林定理 如果線性算子T同時是強(p1，q1)和強(p2，q2)型的，其中1≤pj≤∞，1≤qj≤∞(j=1，2)，即
則對所有滿足
(1)
的
p和
q，
T是強(
p，
q)型的，即
並且
M，
M
1，
M
2之間滿足不等式
。
可以從幾何上來看定理中p，q和pj，qj的關系。記
則α
1、α
2表示區間[0，1]上的兩點，α在α
1，α
2之間，設想
β是α 的函數，在α
1時取值
β
1，在α
2時取值
β
2，問
β在α點取什麼值？關系式(1)表明
β的值恰好等於在(α
1，
β
1)和(α
2，
β
2)作線性內插時的線性函數在α 取的值(圖1
)。這就是算子內插這個名稱的由來。
裡斯-索林定理說明，要證明一個線性算子T是Lp到Lq有界的，隻須驗證T同時是L
到
L
和
L
到
L
有界的。也就是說，要得到
T是強
型的，隻需驗證
T在線段的兩個端點具有相應的型，即同時是強
型和強
型就可以瞭。
下面通過一個典型例子來看如何應用這種算子內插的方法。
豪斯多夫－楊定理 設是f的傅裡葉變換，即
，
則
，
式中
。
從算子內插的觀點來看這個定理，就顯得比較簡單。事實上，取p1=2，q1=2，這時不等式
是帕舍伐爾等式的推論。取
p
2=1，
q
2=∞，這時顯然有
。用裡斯-索林定理便得所要證的結果（圖2
）。如果不用算子內插，這定理的證明就困難得多。
裡斯-索林定理的條件可以減弱。首先，線性算子的條件可用次可加性代替，所謂次可加性是指對任意的f，g，皆有
其次，更重要的是定理的強型條件可以用下面的弱型條件代替。稱
T是弱(
p，
q)型的(1≤
q＜∞)，如果存在常數
C，使得對任意的
f∈
L
p和任意的實數
λ＞0，有不等式
成立，式中
m表示勒貝格測度。如果
q=∞，則弱(
p，
q)型用強(
p，
q)型定義。不難證明，強(
p，
q)型的算子一定是弱(
p，
q)型的。這樣代替以後，
p，
q的限制要多一些，這可以敘述為下面的另一個十分基本的內插定理。
馬欽凱維奇內插定理 如果次可加算子T同時是弱(p1，q1)型和弱(p2，q2)型的，即
式中1≤
p
1≤
q
1≤∞，1≤
p
2≤
q
2≤∞，
p
1＜
p
2，
q
1≠
q
2，則對所有滿足
的(
p，
q)，
T是強(
p，
q)型的，即
調和分析中的許多重要算子，如哈代-李特爾伍德極大函數，奇異積分算子等的強(p，p)型(1＜p＜∞），都是用馬欽凱維奇內插定理證明的。
除上述兩個定理外，還有許多其他類型的算子內插定理。近代的算子內插理論，已經從Lp空間推廣到其他許多的空間，例如索伯列夫空間、Hp空間、別索夫空間等等。
算子內插的方法不僅在調和分析，還在泛函分析、偏微分方程的理論中有許多應用。
參考書目
E.M.Stein and G.Weiss，lntroduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press，Princeton，1971.
A.Zygmund，Trigonometrical Series，2nd ed.，Vol.1～2，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1959.