算圖

　　又稱諾模圖，系指根據一定函數關係式由若幹有刻度的線條所構成的特定圖形，可用來進行計算。例如，根據指數函數關係式ω＝uυ可制出算圖如圖1。

若變元 u、υ的值已知，則在圖中 u，υ軸上定兩點，作一直線，即能求得未知變元 ω的值。由於算式的函數關系都隱含於算圖的線條和刻度之中，而圖上隻顯出各變元的數值，因此計算操作極為方便，不要求使用者先經任何訓練或具備其他用具。計算精度雖受圖形限制，隻達有效數字三位上下，但一般已可滿足實際需要。在科學技術各部門，算圖都有廣泛應用。

　　算圖分為貫線算圖和網絡算圖兩類。

　　貫線算圖　又名列線圖。它的基本要求為三點共線。設三點及其坐標為p₁(x₁，y₁)、p₂(x₂，y₂)、p₃(x₃，y₃)，則p₁、p₂、p₃共線的充要條件為

。　　　(1)

給定函數式

F(u，υ，ω)=0，　　　(2)

設此式可化為

，　　　(3)

將(1)與(3)對照，可得

；　　　(4)

；　　　(5)

。　　　(6)

在(4)中，以變元 u作為參數，可得出點 p ₁( x ₁， y ₁)的軌跡，稱為 u尺度（簡稱 u尺），(4)稱為 u尺的尺度方程。同樣，(5)、(6)分別為υ尺、 ω尺的尺度方程。用此三組尺度方程即可繪制 u、υ、 ω三尺度，構成貫線算圖。

　　圖1的繪制方法是將原有算式ω＝uυ化為

故 。為使此算式化為行列式，試引入輔助參數s、 t，使s= log u， t= log ω，並代入上式而得三聯立式關於s、 t、1的齊次線性方程組

。

由於此齊次方程組有非零解，所以得

，

再把 D 化為(3)的形式，可得

。

行列式 D 稱初始行列式； D _s稱標準行列式。二者都可還原為算式 F( u，υ， ω)＝0。

　　從(4)、(5)、(6)可得關於ω＝uυ算圖的三組尺度方程：

　　u尺　x₁=0，y₁=logu（u尺在y軸上，用對數刻度）；

　　υ尺

　　ω尺 　x₃=1，y₃=-logω(ω尺平行y軸，距y軸單位長，用反向對數刻度)。

　　若三元函數F(u，υ，ω)=0取函數乘法關系

f ₃( ω)的形式（縮記為 f ₁ f ₂＝ f ₃），可得 D 及 D _s為

由此可得 u、υ、 ω三元的尺度方程，而三尺度全為直線， u尺平行於 ω尺，並均與υ尺斜交，故這種貫線算圖稱為Z形算圖。

　　若三元算式取函數加法

即 的形式，依上法可得 D 及 D _s為

例如，對於算式

　　　(7)

在(7)中，因 x ₁、 x ₂、 x ₃三坐標各為常數0、1、1/2，故 α、 b)、с三尺均平行於 y軸。 α尺、 b)尺為平方刻度，с尺相似而縮半(圖3　 )。此種算圖由三平行尺度構成，故稱為三平算圖，在算圖中應用最廣。例如，對算式 f ₁ f ₂＝ f ₃，經取對數後，可化成 log f ₁+ log f ₂= log f ₃。又如， uυ＝ ω也可用重對數化成 loglog u+logυ= loglog ω，從而都可以作出三平算圖。

　　有的三元算式F(u，υ，ω)＝0中有兩個含某一變元的不同函數，一般形式為：

式中含 ω的有 f ₃、 g ₃兩個函數。仿前可得

例如對於二次方程 x ²+ p x+ q=0， f ₁為 q， f ₂為 p， f ₃為 x， g ₃為 x ²，故可得

p尺與 q尺為二平行尺度，用等分刻度。 x為二次曲線尺度(雙曲線)。在此，一貫線與 x尺可有兩交點，它們對應於 x的兩個實根；若不相交，則無實根。這種圖稱為平曲算圖（圖4）。

　　並非一切三元算式F(u，υ，ω)＝0都可作出相應的貫線算圖。對於特定的算式F=0是否可能作出貫線算圖，其關鍵在於從F=0推導出行列式D

及 D _s，以求得 u、υ、 ω三尺的尺度方程。除此法以外，亦可不用行列式，隻將 F＝0按其類型，諸如 f ₁+ f ₂= f ₃， f ₁ f ₂= f ₃， f ₁+ f ₂ f ₃+ g ₃=0等各種形式，選定三平算圖，Z形算圖、平曲算圖等貫線算圖格式，然後作出尺度方程。後一方法易為初學者掌握。

　　網絡算圖　它的基本要求是三線共點。同貫線算圖的三點共線形成幾何學的對偶關系。對於給定算式F(u，υ，ω)＝0，網絡算圖的適用范圍比貫線算圖更為廣泛，但其使用和制作比貫線算圖困難，精度也低。因此，網絡算圖隻成為算圖中次要類型，或與主要類型貫線算圖配合使用。

　　下面以二次方程t²+pt+q=0為例繪制網絡算圖。在此，算式F(p，q，t)＝0，用直角坐標，使p=x，q=y而形成p族直線和q族直線（即縱橫坐標網）。當t取0，±1，±2等值，可得q=0，±p+q+1=0，±2p+q+4=0 等直線，形成t族直線。當p、q取定值，此p線和q線交點所經過的t線有兩條，即可以讀出所求t的兩根（圖5

）。

　　除三元算式以外，四元算式以及五元以上的算式，也都可作出算圖。對於四元算式F(u，υ，ω，t)＝0，在一定條件下可引入過渡變元R，將原式分解為兩個三元函數：

F₁(u，υ，R)＝0，F₂(ω，t，R)＝0。

如算式

可化為

作出兩個Z形貫線圖（圖 6 ）。 R尺為兩算圖的共同尺度，其上不用刻度點，隻使第一貫線的交點決定第二貫線即可。這樣，

sinB＝b) sinA/α

或

b)＝αsinB/sinA

的值可以讀出。

　　上述四元算式的分解法是由兩組貫線算圖利用共同尺度復合而成，故稱為復合算圖。也可由貫線算圖與網絡算圖相結合或兩網絡算圖相結合，甚至用三組復合算圖來處理更復雜的多元算式。