柯西積分定理

　　A.-L.柯西研究複變函數的積分所得到的基本定理。應用這一定理可導出解析函數的一系列重要性質。例如，可證明如果一複變函數在一區域內是解析的(即有導數)，則其導數必連續且任意階導數必存在；還可計算一些定積分或反常積分，等等。

　　複積分定義　設函數f(z)=u++iv在可求長曲線Г上是連續的，其中u和v分別是f(z)的實部和虛部。在Г上依次取分點

。Г上從 z _{k -1}到 z _k的小段記為Г _k，在Г _k上任取一點 ，作和數

。

如果當 （ s _k是Г _k的弧長）趨於零時， s趨於一極限值，則稱這個極限值為 f( z)沿曲線Г的積分，記為

，

即

。

因為

，

所以

當λ→0時，上式右邊的兩個和數分別趨於

與

，

於是有

。

　　柯西積分定理　設f(z)在有限單連通區域（即“無洞”且不含無窮遠點的區域）D內解析，Г是D內任一條可求長、簡單（即本身不相交）、閉(即兩端點重合)曲線，則

。

　　柯西定理有一逆定理，即莫雷拉定理，這一定理與柯西積分定理相結合，可敘述為：設f(z)在有限單連通區域D內連續，則f(z)在D內解析的充分必要條件是：對D內任一條可求長簡單閉曲線（或任一三角形）Г，

。

　　柯西積分公式　由柯西積分定理可導出柯西積分公式，這一公式把解析函數用曲線積分表示出來。特別，它用解析函數在一閉曲線上的值，表示出它在曲線內側的值。柯西積分公式可表述如下：設f(z)在有限單連通區域D內解析，Г是D內任一條可求長簡單閉曲線，則對Г所圍區域內任一點z，

式中積分是在Г上沿反時針方向取的。

　　柯西積分公式啟發人們研究柯西型積分。設函數φ(ξ)在某一可求長簡單閉曲線Г上可積(ξ∈Г)，則由柯西型積分

確定的函數，當 z ∈Г時是解析的。對於Г上幾乎所有的點 z ₀，當 z從Г的內側及外側沿不與Г相切的曲線分別趨近於 z ₀時，有極限

，

式中

　　當Г不是閉曲線時，也有類似結果。柯西型積分可應用於研究解析函數的邊界性質、邊值問題及奇異積分方程。

　　引進同倫及同調概念，可以把柯西積分定理敘述成一般形式。設Г₀：z=Г₀(s)及Г₁：z=Г₁(s)(0≤s≤1)是區域D內兩條可求長閉曲線，設存在著在D內取值的連續函數z=G(s，t)(0≤s≤1，0≤t≤1)，使得

G(s，0)=Г₀(s)，G(s，1)=Г₁(s) (0≤s≤1)；

G(0，t)=G(1，t) (0≤t≤1)，

則稱Г ₀與Г ₁在 D內同倫。

　　對於z∈Г₀，定義z關於Г₀的指標為

。

如果 D的餘集中任何點關於Г ₀及Г ₁的指標相同，則稱Г ₀及Г ₁在 D內同調。可以證明，如果Г ₀及Г ₁在 D內同倫，則它們也在 D內同調。柯西積分定理的一般形式是：設 f( z)在區域 D內解析，Г ₀和Г ₁是 D內兩條同倫或同調的可求長閉曲線，則

。