運算元半群

　　依賴於參數的運算元族。單參數的運算元半群可以通過指數公式exp(-tA)的形式表示出來，其中A是一個運算元，稱為生成元，而t≥0。運算元半群理論是泛函分析的一個分支，主要研究各種類型的運算元半群和它們的生成元的特性，以及指數公式的各種表達形式。這個理論在發展型方程（擴散型及波動型偏微分方程）、馬爾可夫過程論、、算子逼近論、各態歷經理論、控制理論以及量子力學的數學理論中有著廣泛的應用。

　　強連續線性算子半群　是這樣一族線性算子{T(t)|t≥0}，它們都連續地映巴拿赫空間x於自身，滿足：①T(0)=I（恒同算子）；②

對一切 t ₁， t ₂≥0；③對一切 x∈X，有 T( t) x→ x於 x當 t↓+0。這類半群可以表示為exp(- t A)的形式，其中 A是閉的，有稠密的定義域 D( A)，且滿足條件：彐 ω ₀＞0，當 ＞ ω ₀時， I+ A有有界逆，並有常數 M，使得 n=1，2，…。這個條件還是充分的。指數公式exp(- t A)有幾種解釋。其一，當 x∈ D( A)時，成立

。

這個結論給出算子微分方程初始值問題的解。

，

有解 x( t)= T( t) x ₀。其二，

，

這裡若記

則其為有界線性算子，於是可以定義

。

其三，

。

這類算子半群的理論主要是由C.E.希爾、吉田耕作、R.S.菲利普斯等人奠定的。

　　酉算子群　是希爾伯特空間H到自身的一族酉算子(見線性算子)，{U(t)│-∞＜t＜∞}，滿足：①

對一切實數 t ₁， t ₂；②對任意 x， y∈ H，函數( U( t) x， y)是可測的，其中(，)是 H上的內積。斯通定理斷言： U( t)＝exp(-i t A)，其中 A是 H上的一個自伴算子。而且逆定理也成立。這個定理在群表示論中有重要的作用，在量子力學中則給出薛定諤方程解的表示。

　　壓縮半群　滿足‖T(t)‖≤1，對一切t＞0的強連續算子半群。成為壓縮半群的生成元A的充要條件是

，對一切 λ＞0。線性算子 A稱為是增殖的，是指 對一切 x∈ D( A)，對一切

，式中〈，〉表示 x的共軛空間 x 與 x間的對偶。壓縮半群的生成元有一個等價的刻畫： A是閉的增殖算子，並有 λ ₀＞0，使得( λ ₀ I+ A)的值域是滿的。壓縮半群的應用極為廣泛，許多具體算子半群都是壓縮的。例如：佈朗運動中遷移函數導出的算子半群、發展型方程的解導出的算子半群以及泊松核導出的半群等。

　　解析算子半群　還有一類特殊的壓縮半群，其中T(t)作為t的算子值函數可以解析開拓到一個包含正實軸的復平面中的角形區域上去。這類算子半群在拋物型方程中有重要應用。

　　線性算子半群理論也被推廣到瞭非線性算子。非線性壓縮算子半群{T(t)│t≥0}是這樣一族由巴拿赫空間x中的子集C到自身C的非線性映射，除瞭滿足線性強連續算子半群定義中的條件①～③(但以x∈C代替x∈x)而外，還假設滿足條件④‖T(t)x-T(t)y‖≤‖x-y‖，對一切x，y∈C，和一切t≥0。為瞭描寫非線性壓縮半群的生成元，引進多值增殖算子的概念。稱x×x上的一個子集A為一個多值算子，如果記Ax={y∈x|[x，y]∈A}，D(A)={x∈x|Ax≠ø}，R(A)=UAx，(見非線性算子)。一個多值算子A稱為是增殖的，如果，

對一切 。當 x是希爾伯特空間時，一個多值增殖算子就是一個單調算子。多值增殖算子有一個等價刻畫： 。當 λ＞0，對一切[ x ₁， y _j]∈ A， i=1，2。有下列克蘭多爾－利格特定理：設 A是巴拿赫空間 x上的一個閉的多值增殖算子，並且存在 λ＞0，使得 ，則

對一切 t＞0及一切 都存在，並且 T( t)是一個非線性壓縮半群。但是其逆命題一般是不成立的。事實上有例子表明：存在著一個沒有生成元的壓縮半群，即對每個 都不存在。然而當 x是一個希爾伯特空間時，上述定理中的條件相當於 A是極大單調的。這時其逆定理在下述意義下成立。設 x是一個希爾伯特空間，那麼在 x的極大單調算子 A與閉凸子集 C上的非線性壓縮半群之間存在著一一對應如下：①對每個極大單調算子 A，存在 上的惟一的非線性壓縮半群 T( t)，使得 A ⁰ x是 A x中取極小模的元素}是這半群的生成元；②對每個在閉凸子集 C上定義的非線性壓縮半群 T( t)，存在惟一的極大單調算子 A，使得 ，並且 A ⁰是 T( t)的生成元。非線性半群理論在非線性發展型方程和非線性各態歷經理論的研究中有重要的應用。

　　

參考書目

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　K.Yosida，Functional Analysis，5th ed.，Springer-Verlag，Berlin，1978.

　H.Brézis，Opérateurs MaxiMaux Monotones et Semigroups de Contractions dans Les Espaces de Hilbert，North-Holland，Amsterdam，1973.

　M.Crandall and T.Liggett，Generation of Semi-groups of Nonlinear Transformations in General Banach Spaces，American Journal of MathMatics，Vol.93，pp.265～298，1971.