隨機過程

　　隨時間推進的隨機現象的數學抽象。例如，某地第n年的年降水量x_n由於受許多隨機因素的影響，它本身具有隨機性，因此{x_n，n=1，2，…}便是一個隨機過程。類似地，森林中某種動物的頭數，液體中受分子碰撞而作佈佈朗運動的粒子位置，百貨公司每天的顧客數，等等，都隨時間變化而形成隨機過程。嚴格說來，現實中大多數過程都具有程度不同的隨機性。

　　氣體分子運動時，由於相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度，其運動的過程是隨機的。人們希望知道，運動的軌道有什麼性質(是否連續、可微等等)？分子從一點出發能達到某區域的概率有多大？如果有兩類分子同時運動，由於擴散而互相滲透，那麼擴散是如何進行的，要經過多久其混合才會變得均勻？又如，在一定時間內，放射性物質中有多少原子會分裂或轉化？電話交換臺將收到多少次呼喚？機器會出現多少次故障？物價如何波動？這些實際問題的數學抽象為隨機過程論提供瞭研究的課題。

　　一些特殊的隨機過程早已引起註意，例如1907年前後，Α.Α.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變量，後人稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）；又如1923年N.維納給出瞭佈朗運動的數學定義（後人也稱數學上的佈朗運動為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始於30年代。1931年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫發表瞭《概率論的解析方法》；三年後，Α.Я.辛欽發表瞭《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定瞭理論基礎。稍後，P.萊維出版瞭關於佈朗運動與可加過程的兩本書，其中蘊含著豐富的概率思想。1953年，J.L.杜佈的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敘述瞭隨機過程的基本理論。1951年伊藤清建立瞭關於佈朗運動的隨機微分方程的理論(見隨機積分)，為研究馬爾可夫過程開辟瞭新的道路；近年來由於鞅論的進展，人們討論瞭關於半鞅的隨機微分方程；而流形上的隨機微分方程的理論，正方興未艾。60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展瞭隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出瞭較好的工作。

　　研究隨機過程的方法是多樣的，主要可分為兩大類：一是概率方法，其中用到軌道性質、停時、隨機微分方程等；另一是分析方法，工具是測度論、微分方程、半群理論、函數論、希爾伯特空間等。但許多重要結果往往是由兩者並用而取得的。此外，組合方法、代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也起一定的作用。研究的主要課題有：多指標隨機過程、流形上的隨機過程與隨機微分方程以及它們與微分幾何的關系、無窮質點馬爾可夫過程、概率與位勢、各種特殊過程的專題討論等。

　　隨機過程論的強大生命力來源於理論本身的內部，來源於其他數學分支如位勢論、微分方程、力學、復變函數論等與隨機過程論的相互滲透和彼此促進，而更重要的是來源於生產活動、科學研究和工程技術中的大量實際問題所提出的要求。目前隨機過程論已得到廣泛的應用，特別是對統計物理、放射性問題、原子反應、天體物理、化學反應、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊論、信息論、可靠性、經濟數學以及自動控制、無線電技術等的作用更為顯著。

　　隨機過程的定義　設(Ω，F，p)為概率空間（見概率），T為指標t的集合（通常視t為時間），如果對每個t∈T，有定義在Ω上的實隨機變量x(t)與之對應，就稱隨機變量族x＝{x(t)，t∈T}為一隨機過程（簡稱過程）。研究得最多的是T為實數集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T為整數n的集，也稱{x_n}為隨機序列。如果T是d維歐幾裡得空間R^d（d為大於1的正整數）的子集，則稱x為多指標隨機過程。

　　過程x實際上是兩個變元(t，ω)(t∈T，ω∈Ω)的函數，當t固定時，它是一個隨機變量；當ω固定時，它是t的函數，稱此函數為隨機過程（對應於ω）的軌道或樣本函數。

　　如不限於實值情況，可將隨機變量與隨機過程的概念作如下一般化：設(E，ε)為可測空間（即E為任意非空集，ε為E的某些子集組成的σ域），稱x=(x(ω)，ω∈Ω)為取值於E的隨機元，如果對任一B∈ε，{ω：x(ω)∈B}∈F。特別，如果

為 R ^d中全體波萊爾集所成的 σ域（稱波萊爾域），則取值於 R ^d中的隨機元即 d維隨機向量。如果 其中 R ^T為全體實值函數 f=( f( t)， t∈ T)的集，而 為包含一切 R ^T中有限維柱集 的最小 σ域，則取值於 E的隨機元 x即為上述的(實值)隨機過程。如對每個 t∈ T，有取值於 E的隨機元 x( t)與之對應，則稱{ x( t)， t∈ T}為取值於 E的隨機過程。

　　以下如無特別聲明，隻討論取值於(R¹，B¹)的隨機過程。

　　有窮維分佈族　一維分佈函數描述瞭隨機變量取值的概率規律（見概率分佈），對隨機過程x={x(t)，t∈T}起類似作用的是它的全體有窮維分佈函數：對任意n個t_j∈T，i＝1，2，…，n，考慮

的聯合分佈函數 ，

，全體聯合分佈 稱為 x的有窮維分佈族，它顯然滿足下列相容性條件：

　　① 對(1，2，…，n)的任一排列(λ₁，λ₂，…，λ_n)，

；

　　② 若m＜n，則

。反之，有著名的柯爾莫哥洛夫定理：設已給 T及一族分佈函數 如果它滿足①、②，則必存在概率空間( Ω，F， p)及定義於其上的隨機過程 x，而且 x的有窮維分佈族重合於 F。

　　從測度論的觀點看，每一隨機過程x={x(t)，t∈T}在(R^T，B^T)上產生一概率測度P_X，稱為x的分佈，它在上述柱集上的值就是

　　正態過程　有窮維分佈都是正態分佈的隨機過程，又稱高斯過程。就象一維正態分佈被它的均值（見數學期望）和方差所確定一樣，正態過程{x(t)，t∈T}被它的均值函數m(t)=Ex(t)和協方差函數

λ(s，t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)

所確定，其中 λ(s， t)是對稱非負定函數，即 λ(s， t)= λ( t，s)，而且對任意的 t _j∈ T及實數 α _j，1≤ i≤ n，有 反之，對任給的有限實值函數 m( t)和對稱非負定函數 λ(s， t)，由柯爾莫哥洛夫定理可證，存在一個正態過程，以 m( t)為其均值函數，以 λ(s， t)為其協方差函數。

　　根據中心極限定理，許多實際問題中出現的隨機過程可近似地視為正態過程。此外，正態過程有一系列的好性質，如它的最佳線性估計重合於條件期望，這一點在應用上是很方便的，既準確又便於計算。因此正態過程在實際中有廣泛的應用，在無線電通訊及自動控制中尤為重要。為方便計，設m(t)≡0。任取t_j，t∈T，用L(x(t₁)，x(t₂)，…，x(t_n))表示由x(t₁)，x(t₂)，…，x(t_n)的線性組合所構成的希爾伯特空間，x(t)在此空間上的投影記作

稱為 x( t)關於 x( t ₁)， x( t ₂)，…， x( t _n)的最佳線性估計，即線性最小均方誤差估計;條件期望E( x( t)| x( t ₁)， x( t ₂)，…， x( t _n))則是非線性的最小均方誤差估計。對正態過程來講，這兩種估計以概率1相等。

　　可分性　設F是p-完備的，即F包含任何概率為零的集的一切子集。在隨機過程的研究中，Ω的某些重要的子集並不能由事件（即F中的元素）經可列次集運算而得到。例如

對一切 若 T不可列，則作為不可列多個事件的交， A未必是一個事件，也就談不上它的概率。為瞭解決這類問題，杜佈引進瞭隨機過程可分性的概念。稱過程 x關於 T的某一可列稠集 Q可分(或簡稱可分)，是指除瞭一個概率為零的集 N外， x在每一 t∈ T處的值，可以用限於 Q的 x在 t附近的值來任意逼近；即任給不屬於 N的 ω，存在{ r _j}∈ Q，使得 r _j→ t，且 x( r _j， ω)→ x( t， ω)。所謂 Q為 T的稠集，是指 T的每一點必是 Q中某個點列的極限。如果 x關於 Q可分，則可以證明上述的 A是一個事件，而且有 p( A)＝ p({ ω：| x( r， ω)|≤ α，對一切 r∈ Q})。如果過程 x關於 T的任一可列稠集都可分，則稱 x完全可分。

　　設x={x(t)，t∈T}與Y={Y(t)，t∈T}為定義在概率空間(Ω，F，p)，上的兩個隨機過程，如果對任何t∈T，p(x(t)=Y(t))=1，則稱x與Y等價(x與Y互為修正)；這時，x和Y有相同的有窮維分佈族。雖然任給的過程x未必可分，但杜佈證明瞭下列重要結果：對任一過程x，必存在與它等價的可分過程Y。因此在討論僅與有窮維分佈有關的性質時，可取一可分過程Y來代替x。

　　過程x稱為隨機連續，如果對任一t₀∈T，在依概率收斂的意義下(見概率論中的收斂)有

，對隨機連續的過程 x，必存在一個完全可分過程 Y與之等價。

　　可測性　為瞭研究樣本函數對t的積分等問題，需要x(t，ω)關於兩個變量(t，ω)的可測性。設T是R中某區間，B(T)是T中全體波萊爾集所成的σ域，B(T)×F表示乘積σ域，μ=L×P表示勒貝格測度L(見測度論）與p的乘積測度，

表示 B( T)×F關於 μ的完備化 σ域。

　　稱隨機過程x為可測的，如果對任一實數α，有

： 稱隨機過程 x為波萊爾可測的，如果對任一實數 α，有 。如果過程 x隨機連續，則必存在與 x等價的、可測而且完全可分的過程 Y。

　　有時還需要更強的可測性。設給瞭F的一族子σ域{

， t∈ T}，其中 T= R ₊=[0，∞)，滿足：①單調性，對s≤ t， ⊂ ；②右連續性， ③完備性， F ₀包含F 的一切概率為零的集。稱 x為{ }-適應的，如果對任一 t， x _t為 可測；稱 x _t為{ }-循序可測的，如果對任一 t∈ T及實數 α，有{(s， ω)： x(s， ω)≤ α，s≤ t} ([0， t])× 。

　　循序可測過程一定是適應的而且是波萊爾可測的，但逆之不然，除非樣本函數性質較好。例如所有樣本函數都右連續的適應過程一定是循序可測。使一切樣本函數右連續的適應過程都可測的T×Ω上的最小σ域，稱為可選σ域，關於可選σ域可測的過程稱為可選過程。可見，可選可測性是比循序可測性更強的一種可測性。進一步，使一切樣本函數連續的適應過程都可測的T×Ω上的最小σ域，稱為可料σ域，關於可料σ域可測的過程稱為可料過程。這又是一種比可選可測性更強的可測性。可以證明，樣本函數左連續的適應過程都是可料過程。

　　軌道性質　當人們觀察物體作隨機運動時，最感興趣的問題之一是它的軌道性狀，因此隨機過程論中一個重要問題是研究軌道性質，例如探討在什麼條件下，過程的軌道x(t，ω)，α≤t≤b，以概率1有界，或無第二類斷點，或是階梯函數，或是連續函數，等等。函數f(t)在[α，b]上無第二類斷點是指：對每一個t₀∈(α，b)，存在左、右極限

及 而在 α、 b)處，則存在單側極限。

　　設過程{x(t)，t∈[α，b]}可分，而且存在常數α>0，ε>0，с≥0，使得對任意的t∈[α，b]，t+Δt∈[α，b]，有

，則過程的軌道以概率1在[ α， b]上一致連續。設可分過程{ x( t)， t∈[ α， b]}隨機連續，而且存在常數 p＞0， q＞0， r＞0，с≥0，使得對任意的 α≤ t ₁≤ t ₂≤ t ₃≤ b，有

則過程的軌道以概率1無第二類斷點。正態過程的軌道性質有更好的結果：對均值函數 m( t)≡0的可分正態過程{ x( t)， t∈[ α， b]}，隻要存在с≥0，α>0，使得

，

x的軌道就以概率1連續。

　　停時　這一概念的引進是隨機過程論發展史中的一件大事，它帶來瞭許多新的研究課題，而且擴大瞭理論的應用范圍。早在1945年，J.L.杜佈關於馬爾可夫鏈的文章中已經有瞭停時的思想。60年代杜佈、Ε.Б.登金（又譯鄧肯）、R.M.佈盧門塔爾等應用停時於鞅及強馬爾可夫過程的研究；70年代，由於法國概率論學派的工作而使停時的理論更加完善。

　　直觀上，停時是描述某種隨機現象發生的時刻，它是普通時間變量t的隨機化。例如，燈泡的壽命、一場球賽持續的時間都可看成是停時。又如，作隨機運動的粒子首次到達某集A的時刻τ，τ(ω)=inf{t＞0，x(t，ω)∈A}，且約定infø＝∞，當x的軌道連續而且A是一個閉集時，τ就是一個停時，它是一個隨機變量，而且對任何t≥0，{τ≤t}∈σ{x(u)，u≤t}。

　　一般地，設在可測空間(Ω，F)中已給F的一族單調、右連續、完備的子σ域族{

， t∈ R ₊}，稱定義在 Ω上的非負可測函數 τ= τ( ω)（可取+∞為值）為 停時，如果對任意 t≥0，總有{ τ≤ t}∈ 。這一定義的直觀背景是：把 理解為到 t為止的全部信息，一個可觀測的隨機現象發生的時刻 τ是否不遲於 t這一信息應包含在 之中。

　　類似於

，對停時 τ可以定義 σ域

，其中 為包含一切 的最小 σ域。F _τ可理解為過程到 τ為止的全部信息。

　　停時有許多好的性質，例如，若τ₁、τ₂是停時，則τ₁∨τ₂、τ₁∧τ₂也是停時，其中

， ；還有

，這裡 表示包含 、 的最小 σ域；進一步，若{ τ _n}是一列停時，則 也是停時。更細致地研究停時，需要對其進行分類，重要的類型有可料時、絕不可及時等。

　　二階過程　均值和方差都有限的實值或復值隨機過程稱為二階過程。二階過程理論的重要結果之一是它的積分表示。設F是可測空間(Λ，A)上的有限測度，如果對每一A∈A，有一復值隨機變量Z(A)與它對應，且滿足：①E|Z(A)|²＜∞；②

則稱Z＝{Z( A)， A∈A}為( Λ，A)上的正交隨機測度。定義在 Λ上、關於A可測而且關於 F平方可積的函數全體記為 L ²（ Λ，A， F）。給瞭一個正交隨機測度Z，一族函數 ， ，就可以產生一個二階過程 ，滿足

(1)

它的二階矩為

。 (2)

反之，對給定的二階過程，隻要它的二階矩有積分表示(2)，就一定存在一個正交隨機測度Z，使過程本身有積分表示(1)。(1)和(2)分別稱為過程 x和它的二階矩的譜表示。對均方連續的實二階過程{ x( t)， t∈[ α， b)]}，則有級數展開式 其中{ η _n}是標準正交實隨機變量序列，即 ； δ _{n m}=0， n= m時， δ _{n m}=1)， λ _n是積分方程 的本征值， ψ _n是相應的本征函數

Γ(t，s)=Ex(t)x(s)。

　　特殊隨機過程類　對過程的概率結構作各種假設，便得到各類特殊的隨機過程。除上述正態過程、二階過程外，重要的還有獨立增量過程、馬爾可夫過程、平穩過程、鞅點過程和分支過程等。貫穿這些過程類的有兩個最重要最基本的過程，佈朗運動和泊松過程，它們的結構比較簡單，便於研究而應用又很廣泛。從它們出發，可以構造出許多其他過程。這兩種過程的軌道性質不同，前者連續而後者則是上升的階梯函數。

　　廣義過程　正如從普通函數發展到廣義函數一樣，隨機過程也可發展到廣義過程。設D為R上全體無窮次可微且支集有界的實值函數φ的集，定義在D上的連續線性泛函稱為廣義函數、全體廣義函數的集記為D^x。考慮D×Ω上的二元函數x(φ，ω)，如果對固定的ω，x(·，ω)∈D^x是廣義函數，而對固定的φ，x(φ，·)是隨機變量，則稱{x(φ，ω)：φ∈D}為定義在(Ω，F，p)上的廣義過程。它在φ₁，φ₂，…，φ_n上的聯合分佈為

全體這種聯合分佈構成瞭廣義過程 x的"有窮維分佈族"。前兩階矩分別稱為均值泛函

和相關泛函

　　根據有窮維分佈族的性質，也可以定義特殊的廣義過程類，象廣義平穩過程、廣義正態過程等。例如，若對D中任意有限個線性獨立函數φ₁，φ₂，…，φ_n，有限維分佈

都是正態分佈，則稱 x＝{ x( φ， ω)}為廣義正態過程。

　　

參考書目

　J.L.Doob，Stochastic Processes，John Wiley &Sons，New York，1953.

　M.Loève，Probability Theory，4th ed.，Springer-Verlag，New York，1978.

　王梓坤著：《隨機過程論》，科學出版社，北京，1965。

　嚴加安編著：《鞅與隨機積分引論》，上海科學技術出版社，上海，1981。