數學科學的一個分支，它研究數值計算方法的設計、分析和有關的理論基礎與軟體實現問題。另外，有一個較常用的名詞“數值分析”，其包含的內容屬於計算數學的一個部分。計算數學幾乎與數學科學的一切分支有聯繫，它利用數學領域的成果發展瞭新的、更有效的演算法及其理論基礎；反過來，在許多數學分支的研究中開始探索運用計算的方法。計算數學的發展對數學科學本身也產生愈來愈大的影響。近年來，由於電腦的發展及其在各種科學技術領域的應用的推廣與深化，計算性的學科新分支，如計算力學、計算算物理、計算化學、計算生物學、計算地質學、計算經濟學以及眾多工程科學的計算分支紛紛興起。因為任何具體學科中的計算過程，不論其目的、背景和含義如何，終歸是數學的計算過程，計算數學是各種計算性學科的聯系紐帶和共性基礎。因此，計算數學是一門兼具基礎性、應用性和邊緣性的數學學科。
歷史沿革 在每個人生活中的數學活動總是以記數和計算開始的，而且終其一生。計算即便不一定是數學活動的全部，但總也是與生活聯系最直接、最密切的一環。在人類的數學發展的歷史中，計算也占有類似的地位。數學最初導源於計算，計算曾經是古代數學的最重要的組成部分。
中國古代數學曾有輝煌的成就，而尤以計算性和實用性見勝，這是與古代數學的另一個淵源(以概念性及推理性見長的古典希臘數學)有所不同的。中國在公元前14世紀的商代就基本形成瞭十進的位值記數制，而在印度則直到公元6世紀才出現，流傳到西方則更晚。中國春秋戰國時期就形成並發展瞭算籌，作為通用、有效的計算工具。以後又改進演化成為算盤，相應發展瞭珠算方法；中式算盤及其變種在世界上許多國傢（包括東方各國和俄國）一直沿用至今。
公元前2世紀中葉希臘阿基米德提出曲直轉化極限趨近的方法，並據此算出有一定精確度的圓周率π值，這種方法的思想是微積分的先驅。中國北魏的劉徽也獨立地提出類似的思想，發展瞭“割圓術”，計算出π≈3.1416。5世紀中國南朝劉宋的祖沖之發展瞭綴術，據此算出更為精確的π值，領先於世界1000多年。
在代數方程解法方面，中國古代有很高的成就，公元前1世紀漢代《九章算術》一書記載瞭開平方和開立方的算法，書中所述的解一元二次方程的盈不足法就是13世紀後在歐洲出現的“試位法”，書中還有一章講述聯立一次方程解法的，這種解法本質上就是近代的消元法，比歐洲早出現瞭1000多年。關於高次代數方程的近似解法在《九章算術》中已具雛形，到宋代秦九韶(1247)和元代朱世傑(1303)發展完善，相當於近代的霍納算法(1819)。
15世紀歐洲資本主義工商業興起，科學技術有瞭新發展，數學發展的主要舞臺移至歐洲，而在中國則趨於衰微。以解析幾何學及微積分學為標志，近代數學開始形成發展，數值計算方法也有相應的進步。各個時期的大數學傢，在發展基礎數學的同時也都對計算方法作出瞭重要貢獻。I.牛頓、L.歐拉、J.-L.拉格朗日發展瞭一般插值方法與差分方法，C.F.高斯和∏.Л.切比雪夫分別對於均方模量和絕對值模量發展瞭最優逼近的方法與理論。在高次代數方程方面發展瞭牛頓迭代解法以及其他種種求根方法。在線性代數方面發展瞭高斯、若爾當消元法以及各種迭代法。微積分和微分方程發展的同時，也出現瞭數值計算的新領域──微分方程的離散化與數值解法。由於科學技術的發展和實踐的需要，人們開始認識到數值計算的日益增長的重要性。但是，直到20世紀40年代，由於社會生產規模的制約，特別是技術手段和計算工具條件的不足，數值計算的發展比較緩慢，對科學研究和工程技術所起到的作用也是比較有限的。
到瞭20世紀40年代，由於實踐的需要特別是軍事上的需要，也由於技術條件的成熟，在第二次世界大戰開始醞釀，並於40年代末期制成電子計算機，這是人類的計算工具的一項革命性進展。它在誕生之始，在計算速度上要比原有人工操作的機械式計算工具提高瞭3～5個量級。30年來，伴隨著半導體與集成技術的進步，計算機又有不停頓的迅速發展，平均每五年性能價格比提高一個量級。這就使得愈來愈多的、以前不能設想的、難度和規模日益增大的計算問題的解決，在技術上和經濟上成為可行的。在這樣新的條件下，計算在整個科學技術以至經濟生活中的重要性得到前所未見的提高；同時，以原來分散在數學各分支的計算方法為基礎的一門新的數學科學──計算數學──開始形成並迅速發展。
作用與意義 每一種科學工具的創新，都能推動有關科學的進步，而推動的程度總是與工具性能的提高相應的。如望遠鏡、顯微鏡、加速器等工具的作用，都延伸和強化瞭人的特定的觀察能力，從而帶動瞭有關的特定科學領域，如天文學、生物學、高能物理學等。由於計算機是一種能延伸和強化人的思維智能的工具，工效上又有極大提高，並且具有高通用性，所以它的作用將深刻影響到一切科學技術領域。計算機的出現正在把計算的手段推向人類科學活動的前沿，計算的方法正在上升為科學方法的一個主要環節。
15世紀以後，近代科學在歐洲興起，特別重要的是，以伽利略為代表系統地引進瞭科學實驗方法，和稍後以牛頓為代表提高完善瞭科學理論方法。實驗與理論並列成為科學方法的兩個對等環節，推動瞭近代科學的發展。當前科學計算正在興起並形成與科學理論、科學實驗鼎足三分之勢，這是伽利略、牛頓以來在科學方法論方面取得的最大進展。
在現代自然科學與工程技術中，基本規律的精確表達形式大都采用微分方程，但用當代數學解析方法能對其求解的方程僅限於常系數、線性、規則區域等少數“初等”的情況，對絕大多數的變系數、非線性、不規則幾何等復雜問題，數學解析的方法幾乎無能為力，這種情況在今後相當長的時期內也不可能改變，若采用數值計算的方法，再借助於計算機，從原則上說，對解決非線性方程和其他復雜問題沒有不可逾越的障礙。計算的方法對那些理論上難以處理的問題能給出豐富的、系統性的感性啟示，也能為工程設計提供急需的、關鍵性的定量依據。另外，對那些精確性尚不成熟、數學模型尚未定型的問題，利用數值模擬計算可進行多方案的對比篩選，這對過程的理解和正確模型的建立極有幫助。因此，對理論方法而言，計算的方法是與它相輔相成的，也可以補充其不足，還可以指導其發展，甚至部分取代。當然，對科學問題的完整解決，理論方法是不可缺少的。
在計算方法與實驗方法之間也有類似的關系。在很多基本物理規律業已明確、數學模型業已定型的科學領域中，計算手段所取得的成果，其精確可靠性已經接近，達到或超過實驗手段的結果，數值試驗還可以直接模擬客觀世界的現象與規律。實驗手段往往費人、費時、費錢，而且在一些異常條件下進行實驗是非常艱難，甚至非常危險的。這時，計算的手段就成為非常關鍵甚至是惟一可行的辦法。當然，對於物質世界的新現象新規律的探索，實驗手段是不能替代的。
綜上所述，現代科學方法的三個環節，理論、實驗、計算是相輔相成、相對獨立、可以相互補充替代而又彼此不可缺少的。
科學計算，作為一門工具性、方法性、邊緣性的新科學已經開始瞭自己的迅速發展。它的物質基礎就是計算機（包括其硬件軟件系統）；它的知識和理論基礎主要地就是計算數學。美國數學傢J.馮·諾伊曼對於科學計算和計算數學的興起和形成都作出瞭重要貢獻。
當代計算能力的大幅度提高既來自計算機的進步，也來自計算方法的進步。計算機和計算方法的發展是相輔相成，相互制約和相互促進的。計算方法的發展啟發新的計算機體系結構，而計算機的更新換代也對計算方法提出瞭新的標準和要求。自計算機誕生以來，經典的計算方法業已經歷一個重新評價、篩選、改造和創新的過程；與此同時，湧現瞭許多新概念、新課題和許多能夠充分發揮計算機潛力、有更大解題能力的新方法；這就構成瞭現代意義下的計算數學。
研究內容 概括地說，整個計算數學大致可分為兩個大方面：一個方面是離散型方程的數值求解；一個方面是連續系統的離散化。計算數學理論的基本概念包括：誤差、穩定性、收斂性、計算量、存貯量、自適應性等，這些概念是刻畫計算方法的可靠性、準確性、效率以及使用的方便性。從數學問題的來源或類型來看，計算數學則包括數值代數、最優化計算、數值逼近、計算幾何、計算概率統計、數學物理方程數值解等。
數值代數包括線性代數、高次代數方程、超越方程和非線性方程組數值解法，屬於有限維離散型問題。由於實踐的需要，大型的稀疏系統是這個領域的主要對象。計算機有限字長引起的舍入，使得算術的結合律、分配律不成立，從而產生數學公式等價而算法不等價的問題，不同的算法結構產生差別很大的計算誤差，數值穩定性正是刻畫算法這一特性而受到應有的重視。由於方程組的規模愈來愈大，從算法上考慮節省計算量、存貯量的迫切性和潛力也愈大。傳統高斯消元法的各種變形，正是從數值穩定性、計算量、存貯量幾個方面考慮的。稀疏技術、一般的特大型稀疏線性方程組的求解方法、非線性方程大范圍收斂的求解方法是這個領域的重要課題。
數值代數的一個重要方面是快速算法。快速傅裡葉變換(FFT)是計算有限傅氏級數即周期性離散傅氏變換的一種遞推算法。它把N點變換計算量從傳統的O(N2)降至O(Nlog2N)，對實踐上要求的大N，工效提高瞭若幹數量級，基本上克服瞭所謂“時間域”與“頻率域”轉換的計算障礙，為調和分析方法在許多科技領域，特別為譜析、全息、信號處理、圖像處理等方面廣泛應用計算機開辟瞭道路，也推動瞭各種快速算法的研究和計算機陣列式處理器的研制和發展。
最優化計算包括線性規劃、非線性規劃及動態規劃等幾個方面的計算方法，其中又可分為無約束極值和約束極值兩類。線性規劃是理論成熟應用最廣泛的部分，基本的算法是單純形方法。由於實際問題一般都包含眾多未知量，尋求快速算法是很迫切的問題，在這個方面，線性規劃的多項式算法近幾年來有很大進展。
數值逼近研究函數的離散逼近、數值微分、數值積分等。這部分與數值代數構成計算數學的基礎部分。函數的離散逼近特別是各種方式的函數插值，是連續系統離散化的基本步驟。實踐和理論表明，分片低階插值比高階插值有更好的數值穩定性，特別是其中的有限元形狀函數與樣條函數等，因其種種優良性質而被廣泛應用，是重要的發展方向。
計算幾何研究靜態或動態的幾何形體及其視象的離散化、逼近與生成的計算方法。這是一個興起較晚的新分支，但發展迅速，對於計算機制圖、計算機輔助設計、計算機輔助制造、計算機動畫、計算機視像、機器人技術等眾多領域都有重要的應用。
計算概率和計算統計包括多元統計分析計算、時間序列分析計算、馬爾可夫鏈計算和數字濾波等。這方面的計算是根據實際問題的概率統計模型、對試驗觀測數據或隨機模擬數據進行統計分析處理、給出實際問題性質的統計描述、統計控制或統計預測的數值結果。
蒙特卡羅法是計算機誕生後由馮·諾伊曼與S.M.烏拉姆倡導的一類新型計算方法，它將求解的數學問題(離散型或連續型)化為概率模型，在計算機上實現隨機模擬，以獲得近似解。這種方法的優點是：對於問題的幾何形狀不敏感，收斂速度與維數無關。因此它特別適應於很高維數的數學物理問題，如玻耳茲曼方程、薛定諤方程等等。
數學物理方程的數值解法研究把數理方程進行離散化和對離散方程求解以及有關的理論基礎問題。數學物理方程的問題可以分為正演問題和反演問題兩類。它們大量出現在物理、力學、地球物理等學科以及國民經濟、國防的實際課題中。
正演問題是給定方程、再加上規定具體環境的定解條件，包括初始條件、邊界條件等，由此求解以便定出因果關系和過程演化的定量特征，起著由因推果的作用。正演問題數值解法包括常微分方程、定常和非定常偏微分方程、積分方程、積分微分方程的初值問題、邊值問題等的數值解法。
微分方程的離散化主要有有限差分方法與有限元方法兩大類。有限差分方法歷史悠久，導源於牛頓、歐拉，它以差商代替微商，將微分方程離散化為差分方程。R.庫朗、菲德裡克斯與H.盧伊於1928年證明瞭三大典型方程的典型差分格式的收斂性定理，成為現代理論分析的先導。差分法簡單通用，適用於任何類型的方程，又便於機器實現，在計算機誕生以後得到瞭很大的發展與推廣應用。馮·諾伊曼於1948年對無粘流體（非線性雙曲型）方程提出瞭引進人工粘性項的差分方法。它不考慮間斷性（激波）而使之在應該有的地點時刻自動呈現或被捕捉，與此同時他提出瞭計算穩定性的重要概念和穩定性分析的線性化傅裡葉方法。其後拉克斯、R.D.裡希特邁耶建立瞭一般差分格式的收斂性、穩定性等價定理。人工粘性法是現代流體計算的主導方法之一；這種自適應的算法思想也給其他計算方法的發展以很大啟發和影響。
有限元方法是針對橢圓型方程邊值問題的一個新的離散化方法，它基於等價的變分原理的形式，采取任意格網分片逼近的手段，把傳統上對立的差分方法與裡茨-加廖金變分方法有機地結合起來，揚長抑短，發展成為解算定常問題的主導方法，並推廣應用於非定常問題，也開辟瞭理論研究的新方向。有限元具有幾何上靈活適應的突出優點，特別適合於解決復雜性大的問題，並便於機器實現，在眾多科學技術領域特別是工程設計中業已普遍應用，促進瞭設計的精密化、優質化和計算機化，帶動瞭工程應用軟件的發展。
數學物理方程、特別是非線性方程的差分格式與有限元格式的構造、解法、穩定性、收斂性、病態性、奇異性、無窮區域、自適應方法、多重網格方法等都是重要的研究方向。
反演問題是在給定方程的模式下，已知其解或解的某一部分，要求反推該方程的系數、源項或邊界的形式等等，起著導果求因的作用，大凡為要探查不可達、不可觸之處的形貌性態，就可提出適當的數學反演問題。70年代 X光分層掃描計算機化構像的發展就是一個范例。在科學技術和工程實際中，特別在醫療衛生、無損探測、遙感遙測、地震勘探、地球物理等領域中存在著大量的反演問題等待解決，它們通常是不適定的、病態的，有其特殊的難點。這是一個正在開拓中的，理論上和應用上都很重要的新領域。
計算方法研究的成果最終要落實為數值軟件的形式，為科學技術和生產實踐服務，形成為生產力。數值軟件的研制除瞭要吸取一般軟件理論和技術以外，還有本身的特定的問題。這些問題對解題效率和使用方便都有極大關系，形成瞭一個新的研究領域。
並行計算機（包括單指令流多數據流的向量機和多指令流多數據流的多處理機）的發展，給計算數學的研究帶來瞭新課題。改造現存的有效算法及數值軟件包使之適應並行計算機，特別是設計新的高效率的並行算法，也成為計算數學中一個特別活躍的新領域。
在中國的發展 根據1956年制定的國傢科學規劃，計算數學在中國開始發展，30年來計算數學發展迅速，在計算數學的應用研究和基礎研究上取得瞭許多重大成果，為國傢解決瞭大量經濟建設和國防建設中的重要科學計算課題，其中重要的有：從20世紀60年代開始，中國核工業部第九研究院周毓麟等集體研究與完成瞭大量大型科學計算課題，為中國原子彈的研制成功、氫彈原理的突破和發展作出重大貢獻；60年代初，中國科學院計算中心馮康等人在大型水壩應力計算的基礎上，獨立於西方創造瞭有限元方法並最早奠定其理論基礎；華羅庚等對於高維數值積分的數論網格方法作出重要貢獻。