同調論

　　代數拓撲學中的一個主要組成部分，研究與同調概念有關的課題。

　　考慮帶有方向的曲面（塊）與曲線（段），如圖1、圖2中的圓盤均由旋轉箭頭定向。圓周Z與Z′是比D與D′低一維的圖形，作為曲線，它們各按所標的箭頭定向。規定D的邊緣為Z，記作∂D＝Z；對於DD′，則應有∂D′=-Z′。無底圓筒C與它的上下邊界W₁與W₀按所標箭頭定向後有∂C＝W₁-W₀（圖3）。在圖4環面T中，圓圈Z為曲面塊A的邊緣，∂A＝Z，這時稱閉曲線Z在環面T上同調於零，記作Z～0。閉曲線W在T上不同調於零，但∂B=W-W₁，這時稱閉曲線W同調於W₁，記作W～W₁。同調概念就是在這種定向圖形之間的邊緣關系上建立起來的。

　　在圖5

的曲面 S上， α、с、 d都不同調於零， b)～0， α不同調於с、 d中的任何一個，但с～ d。

　　將圖6

中圓盤邊界上的每一對對徑點（諸如 A與 A′， B與 B′）粘合，得到的曲面 p叫做射影平面。 與 在 p中為同一定向圓圈 z。可以看出，在 p中有 z+ z= 2 z～0，但 z不同調於零。

　　H.龐加萊從1895年起，為瞭對同調概念做一般的討論，引進瞭可剖分為復形的空間，從此產生瞭組合拓撲學。

　　n維單形　0維單形是一個點，一維單形是一條線段，二維單形是一個三角形，三維單形是一個四面體，n維單形是一個具有n+1個頂點的廣義四面體。

　　定向單形　除0維單形不給定向外，其他維的單形可以有兩個定向。例如，一維單形的定向可以用從起點到終點的箭頭給出，二維單形的定向可以用一個旋轉方向給出(圖7

)，等等。一般對於 n維單形有兩個定向，可以用頂點的順序來給出它的定向。彼此相差一個偶排列的兩個順序代表同一個定向。例如，線段 A B的一個定向可以用( A， B)表示，另一個定向則可用( B， A)表示；三角形 A B C的一個定向可用( B， A， C)或( C， B， A)或( A， C， B)表示，另一個定向可用( B， C， A，)或( C， A， B)或( A， B， C)表示。

　　單純復形　是由有限個單形很好地拼湊起來而組成的。例如，圖8

之a這個單純復形是由4個0維單形 A， B， C， D；4個一維單形 A B， B D， C D， B C和1個二維單形 B C D按照圖8之a中所畫的關系拼湊而組成的。圖8之b這個單純復形是由6個0維單形 A， B， C， A′， B′， C′，12個一維單形 A B， B C， C A， A′B′， B′ C′， C′ A′， B′ C， A′ C， A′ B， B B′， A A′， C C′，6個二維單形 A A′ B， A′ B B′， B B′ C， B′ C C′， C C′ A′， C A′ A按照圖8之b中所畫的關系拼湊而組成的。

　　單純復形的n維鏈　形如

的線性組合叫一個 n維鏈，其中{ }取遍單純復形 K的所有單形，且每個單形取好瞭定向（0維單形不取定向），α _i為整數（即線性組合中的每一項是 K中的一個 n維定向單形，且附一個整系數）。兩個 n維鏈之和定義為一個 n維鏈，其每項的系數是兩個鏈的相應項的系數之和。容易驗證： K的所有的 n維鏈組成一個交換群，這個交換群叫 K的 n維鏈群，記作 C _n( K)。例如，圖8之a 中的單純復形，3( A， B)+2( B， C)-( C， D)-5( B， D)為一個一維鏈;圖8之b中的單純復形，4( A， A′， B)-2( B， B′， C)+( C， A， A′)為一個二維鏈。

　　邊緣算子　規定0維單形的邊緣為零，一維定向單形(A，B)的邊緣為B-A，二維定向單形(A，B，C)的邊緣為(B，C)-(A，C)+(A，B)，三維定向單形(A，B，C，D)的邊緣為(B，C，D)-(A，C，D)+(A，B，D)-(A，B，C)，等等。可類似地定義n維定向單形的邊緣。以符號∂寫在定向單形的前面表示它的邊緣。對於每一個n維鏈

，規定它的邊緣 （即先取它的每一個定向單形的邊緣再乘上它的原來系數然後求和）。不難看出，一個 n維鏈的邊緣是一個 n-1維鏈。由此得到從 n維鏈群到 n-1維鏈群的同態，這個同態叫做（下）邊緣算子，記作∂： C _n( K)→ C _{n -1}( K)。邊緣算子具有∂∂=0的性質。

　　n維閉鏈　滿足∂x=0的n維鏈x叫n維閉鏈。例如，圖8a中的單純復形，一維鏈(C，D)-(B，D)+(B，C)就是一個一維閉鏈。單純復形K的所有n維閉鏈所組成的交換群叫K的n維閉鏈群，記作Z_n(K)。

　　n維邊緣鏈　如果一個n維鏈是某一個n+1維鏈的邊緣，則稱此鏈為n維邊緣鏈（即一個n維圖形是n+1維圖形的邊緣）。例如圖8a中的單純復形，一維鏈(C，D)-(B，D)+(B，C)=∂(B，C，D)就是一個一維邊緣鏈。單純復形K的所有n維邊緣鏈所組成的交換群叫K的n維邊緣鏈群，記作B_n(K)。由於邊緣鏈一定是閉鏈，因而B_n(K)是Z_n(K)的子群。

　　n維同調群　由於B_n(K)是 Z_n(K)的子群，把商群Z_n(K)/B_n(K)叫做單純復形K的n維（下）同調群，記作H_n(K)。H_n(K)中的每一個元素叫做一個n維同調類。如果兩個n維閉鏈zń，z_n^"的差為一個邊緣鏈時，就叫zń與z_n^"同調。如果z_n是邊緣鏈，則稱z_n同調於零。例如，圖8b中的單純復形，2個一維閉鏈(A，B)+(C，A)+(B，C)，(A′，B′)+(C′，A′)+(B′，C′)有∂((A，B，A′)+(A′，B，B′)+(B，C，B′)-(C，B′，C′)-(C，C′，A′)-(C，A′，A))=((A，B)+(C，A)+(B，C))-((A′，B′)+(C′，A′)+(B′，C′))。因而這兩個閉鏈同調（而它們都不同調於零）。同調群H_n(K)的秩叫做K的n維貝蒂數。如果在n維鏈群的定義中，用任意的一個交換群G中的元素代替整數，可以得到以G為系數的n維鏈群C_n(K;G)。相似地有以G為系數的n維邊緣群B_n(K;G)，n維閉鏈群Z_n(K;G)。由此定義以G為系數的n維同調群H_n(K;G)。

　　多面體　單純復形K的全體單形的並集叫做一個多面體，記作│K│。對於多面體的同調群H_n(｜K｜;G)可以用H_n(K;G)來定義，即令H_n(｜K｜;G)=H_n(K;G)。

　　單純映射　給定瞭兩個單純復形K，L，且指定瞭K的每一個頂點（0維單形）到L的某個頂點的一個對應，並把K中的屬於同一個單形的所有頂點對應到L的同在一個單形中的頂點，這個對應叫從K到L的單純映射。單純映射f：K→L把K中的每一個定向單形(頂點的一個順序)映射到L中的一個定向單形（得到對應頂點的一個順序，若有兩個頂點的像重合，則理解為對應到0），由此產生瞭一個從C_n(K;G)到C_n(L;G)的同態，並且可以證明它把Z_n(K;G)映射到Z_n(L;G)，B_n(K;G)映射到B_n(L;G)。從這個同態可以導出一個從H_n(K;G)到H_n(L;G)的同態。

　　連續映射導出的同態　給瞭兩個多面體|K|、|L|之間的一個連續映射F：│K│→│L│，可以將K適當重分成另一復形K′，並用一個單純映射去逼近F。利用這個單純映射導出的同調群之間的同態得到H_n(│K′│；G)到H_n(│L│；G)的同態，並且可以證明，H_n(│K′│；G)與H_n(|K|;G)自然地同構。於是記此同態為F_n：H_n(|K|;G)→H_n(│L│;G)。

　　上同調群　G為任一交換群，Hom(C_n(K)，G)為所有從C_n(K)到G的群同態所組成的群，這個群叫做K的以G為系數的n維上鏈群，記作Cⁿ(K；G)。利用K的邊緣算子∂：C_n(K)→C_n-1(K)可得對偶同態δ：C^n-1(K;G)→Cⁿ(K;G)。定義如下：設f∈C^n-1(K；G)，規定δf=f∂：C_n(K)→G。這個δ叫上邊緣算子，具有δδ=0的性質。與同調群的定義相似，可以定義以G為系數的上閉鏈群Zⁿ(K;G)，上邊緣鏈群B_n(K;G)，上同調群Hⁿ(K;G)。當G為整數加群Z時，省去符號Z，簡單記為Cⁿ(K)，Zⁿ(K)，Bⁿ(K)，Hⁿ(K)，等等。對於連續映射F：│K│→│L│，利用單純映射去逼近，可得到同態

。上同調群的構造可以由同調群完全確定。當多面體│ K│為定向流形時，同調群和上同調群之間還有對偶關系（流形的龐加萊對偶定理），即 H ⁿ(｜ K｜; G)同構於 H _{q - n}(│ K│; G)，其中 q為流形│ K│的維數。

　　J.W.亞歷山大在1915年證明瞭多面體的同調群的拓撲不變性，即如果兩個多面體│K│，│L│同胚，那麼這個同胚誘導它們的上同調群、同調群的同構。實際上，如果│K│，│L│倫型相同，其同倫等價也誘導它們的上同調群、同調群的同構。

　　利用同調群可以解決不少幾何問題。例如，佈勞威爾不動點定理（見不動點理論），可以找到歐拉示性數與貝蒂數之間的關系式：

其中α _i為復形 K的 i維單形個數， b) _i為多面體│ K│的 i維貝蒂數， ( K)即 K的歐拉示性數。從而證明瞭歐拉示性數是│ K│的拓撲不變量。

　　單純復形的整系數同調群是個有限生成的交換群。因此，它同構於

，其中Z代表整數加群， θ(1， n)，…， θ(τ _n， n)為一串自然數，每個可整除後一個，⊕表示直和。前面Z的個數即為 n維貝蒂數;後面這串有限群的階數 θ(1， n)，…， θ(τ _n， n)稱為 n維撓系數。確定一個單純復形（及其多面體）的各維貝蒂數與撓系數，也就算出瞭同調群。

　　簡單的單純復形的同調群的計算，可以通過叫做“擠到邊上去”的方法直觀地解決。一般單純復形同調群的計算，可以用矩陣變換的方法經有限多次的算術運算解決，不過具體實現這種計算是非常困難的。

　　帶系數群G的同調群的構造，可由整系數同調群與G按照“泛系數”公式來求。上同調群的計算也有其相應的公式。

　　同調論的公理　S.艾倫伯格和N.E.斯廷羅德提出瞭同調群、上同調群滿足的公理，並證明瞭在多面體的情形下滿足公理的同調群、上同調群是惟一的。

　　在一般的拓撲空間上引進同調群主要有兩種方式。利用有序單形映射到拓撲空間，來定義這個拓撲空間的同調群，稱為這個拓撲空間的奇異同調群；利用單純復形來逼近一個拓撲空間，用極限來定義這個拓撲空間的同調群，稱為這個拓撲空間的切赫同調群。在緊多面體的情況，這兩種同調群都同構於按單純剖分得到的同調群。

　　在以某種環為系數的上同調群中可以引入乘法使之成為上同調環。為瞭更好地利用上同調群，在其上引入瞭所謂上同調運算的額外結構，例如斯廷羅德冪，龐特裡亞金冪等等。由斯廷羅德冪發展成為斯廷羅德代數的研究，大大豐富瞭同調論的內容。

　　

參考書目

　江澤涵著：《拓撲學引論》，上海科學技術出版社，上海，1978。

　R.M.Switzer，Algebraic Topology-Homotopy and Homology，Springer-Verlag，New York，1975.