模形式論

　　一種特殊的自守形式的理論。由（J.-）H.龐加萊所發展的一般的富克斯群上的自守形式，是屬於單複變函數論的一個課題。由E.赫克所創的模形式是對於模群Sl₂(Z)或其他算術群的自守形式，就其內容和方法而言，則應為數論的一部分。它在以後的發展中與橢圓曲線理論、代數幾何、表示論等有十分深刻的聯繫而成為數學中的一個綜合性學科。

　　模形式與很多重要的數學問題有關，在現代數學的發展中占有重要地位。例如，對阿貝爾擴域已建立瞭完整的類域論而使D.希爾伯特的第9問題得到解決，目前一個非常重要的問題是關於非阿貝爾擴域的類域論的研究，已發現非阿貝爾擴域與模形式之間的內在聯系。又如關於希爾伯特第12問題得到對於虛二次域的結論：虛二次域的任一阿貝爾擴域必是該域添加模函數j(z)的某些值所得到的域的子域。著名的高斯猜想即虛二次域的類數問題的解決，也用到瞭模形式論。

　　模形式是指滿足以下兩個條件的函數f(z)：①f(z)是上半平面

上的全純函數，在∞處的傅裡葉展開式為 α ₀+ α ₁ q+ α ₂ q ²+…，式中 q= e ^{2 πiz}， α _i是常數；②若 則 式中Г 表示所有行列式等於1的二階整數方陣構成的群，稱之為模群； k是某個整數，稱之為模形式 f( z)的權。因而， f( z)又稱為群Г上權為 k的模形式。

　　上半平面h上的變換

稱為模變換。

　　全體模形式構成的線性空間記為M_k(Г)，它是復數域上的一個有限維向量空間。若以d_k表示它的維數，則當k＜0，k=2或k為正奇數時，d_k=0；當k=0，4，6，8，10時，d_k=1；當k≥12，且為偶數時，d_k=d_k-l2+1。

　　當k＞1時，定義函數

式中求和號 ′表示對不等於(0，0)的所有整數組( m， n)求和。等號右端的無窮級數是絕對收斂的，所以 G _k( z)在 h上是全純函數。且可證明 G _k( z)屬於 M _2k(Г)。 G _k( z)稱為艾森斯坦級數，它在∞處的傅裡葉展開式為

又一個重要的例子是權為12的模形式

它與 G ₂ ³( z)和 G ₃ ²( z)同屬於 M ₁₂(Г)，因為 d ₁₂=2，所以在Δ( z)、 G ₂ ³( z)和 G ₃ ²( z)之間一定存在一個線性關系，實際上有Δ( z)＝( 60 G ₂( z)) ³－27( 140 G ₃( z)) ²，進而可證明 M _k(Г)是由適合 4 α+ 6 b＝ k的諸 G屶( z) G ( z)在復數域上張成的，這裡 α、 b為非負整數。

　　令

這些τ( n)都是整數。1916年， S.A.拉馬努金關於τ( n)的性質提出如下的猜想：當 m與 n互素時，τ( m n)=τ( m)τ( n);當 p為素數， α為正整數時， 1920年，L.J.莫德爾證實瞭這一猜想。赫克在 M _k(Г)中引入瞭一類線性算子（赫克算子），類似於τ( n)所具有的性質正是這類算子的公共本征矢的傅裡葉系數所具有的性質。這些公共本征矢組成瞭 M _k(Г)的一組基。拉馬努金關於τ( n)的另一個猜想是 1974年P.德利涅證實瞭這一猜想。

　　當模形式f(z) 的傅裡葉展開式中常數項α₀為零時，f(z)稱為歧點型模形式。

　　由Δ(z)的乘積表達式可知Δ(z)≠0(z∈h)。因此定義函數

它是一個權為零的模形式。在所有模變換之下不變的亞純函數稱為 Г上的模函數。可見 j( z)是模函數，進而可證明Г上任意模函數都可表成 j( z)的有理式。

　　對於Г 的子群，也可類似地定義模形式。常見的這類子群有

式中 N為正整數。研究這些群上的模形式空間的構造，是模形式論的一個重要課題。

　　模形式論還可用於把一個整數表成幾個整數的平方和的問題。以r_s(n)表示把n表成s個整數平方和的所有不同的表法個數，令

顯然有

若　　　

則有　　　

式中　　　

這裡

是二次剩餘符號，ε _d對所有奇數 d有定義，當 d≡1（mod4）時，ε _d=1，當 d≡3(mod4)時，ε _d= i，平方根(с z+ d) ^1/2的幅角總取在 之內。設 k為正奇數，在模形式的定義中，用 j( r， z) ^k代替條件②中的(с z+ d) ^k，即為權是半整數 k/2的模形式定義，例如 θ ³( z)是Г ₀(4)上權為3/2的模形式。