模函數

　　定義在單位圓（或上半平面）內部且以其周界為自然邊界的某種特殊解析函數。解析函數的許多經典理論如整函數理論中的皮卡定理、正規族理論中的一些判定定理，都可借助模函數的性質來證明。

　　如圖1

，在 zz平面中取單位圓│ z│＜1，在其周界上按反時針向依次任取三點 A， B， C，並作一圓弧三角形 A B C，其每邊均與│ z│=1正交，構成一區域 D ₀(圖中斜線區)。在 w平面中實軸上取定三點 α(=0)， β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一單葉解析函數 w= f( z)，把 D ₀映到 w的上半平面，並使 A， B， C分別映到 α， β，у。根據對稱性原理， w= f( z)可解析開拓到圓弧三角形 Dó中，這裡 Dó是 D ₀關於 A B弧的對稱反演區域( C點反演成圓周│ z│=1上另一點 C′)，而函數值則取在 w的下半平面，此下半平面與原上半平面沿線段 αβ相粘連。同理， w= f( z)又可分別解析開拓到 D ₀的關於 C A弧和 B C弧的對稱圓弧三角形中，其函數值也在 w的下半平面中，它們分別與上半平面沿半直線 γ α和 βγ 相粘連。這樣，得到瞭│ z│＜1中的一圓弧六邊形區域， w= f( z)在其中解析，取值於整個 w平面中如上粘連的一個上半平面和三個下半平面。再以此六邊形的各邊進行反演，則 w＝ f( z) 又可再次解析開拓到| z|＜1中邊數更多的圓弧形區域中(仍在| z|＜1內)，取值又回到 w的上半平面，並與上面已取得的下半平面分別沿 αβ， βу，у α之一相粘連。如此無限繼續下去，則 w= f( z)就開拓成為整個│ z│＜1內的解析函數，其所取之值在 w平面上形成一無限層的黎曼曲面。 w= f( z)稱為模函數。其反函數 z= φ( w)是整個 w平面除0，1，∞外的多值解析函數，或者可說成是上述黎曼曲面上的單值解析函數。

　　模函數w=f(z)單值解析於|z|＜1內，顯然不取值0，1，∞，且當z從單位圓內部以任意方式趨於其周界上一點時，不可能有確定的極限值，因此|z|=1是其自然邊界，即它不可能再向|z|=1之外進行解析開拓。

　　也可用一分式線性變換t=ω(z)，|z|＜1，把z變到t平面的上半平面，使A，B，C分別變成實軸的α，b以及с=∞，而D₀變成區域Δ₀（圖2

），當 D ₀關於其一邊界圓弧作對稱反演時，相應地Δ ₀也關於其相應邊作對稱反演。

　　設t=ω(z)的反函數為z=λ(t)，則

w=f(z)=f(λ(t))=φ(t)

就把 t的上半平面映成 w平面的上述黎曼曲面。 φ( t)也稱為模函數，其性質本質上與 f( z)相類似。

　　如果把構成模函數w=f(z)過程中所作的種種關於圓弧的反演變換記為T₁，T₂，…，則對於任何T_j，f(z)與f(T_jz)互為共軛。因此，對任何兩個T_j，T_k，恒有f(z)=f(T_jT_kz)，即當z經過兩次這類反演後，其函數值f(z)不變。如果把偶數個這種反演及其逆作為元素，它們生成一變換群G，則當z經G任一元變換後，函數值f(z)不變。稱G為模函數w=f(z)的不變群，也稱f(z)為關於群G的自守函數（見橢圓函數）。