面積積分

　　又稱面積函數，是蘇聯數學傢。Η.Η.盧津1930年首先引入的一種特殊積分。假設f(z)是單位圓|z|＜1內的解析函數，f′(z)是它的導數，那麼積分

(1)

稱為 f在點 z= e ^iθ處的面積積分(見 )，這裡 δ是小於1的某個正數， Ω _δ( θ)是由點 e ^iθ引圓周 C _δ(│ z│= δ)的兩條切線與 C _δ上被兩切點所截的、離 e ^iθ較遠的圓弧所圍的區域。

　　積分(1)中的被積函數

是映射 z→ f( z)的雅可比行列式，當 f( z)為一一映射時，可知( S _δ( f)( θ)) ²正好是區域 Ω _δ( θ)在映射 f下的映像面積。面積積分的名字由此而來。

　　S_δ(f)(θ)在某些點e^iθ處，可能是無限的。但是，盧津為瞭研究一類解析函數的性質，證明瞭當f(z)∈h²，即

時，對於單位圓周上幾乎所有的e ^iθ，面積函數 S _δ( f)( θ)都是有限的，並且

，(2)

式中 f(e ^iθ)是 f的邊值函數；當 f(0)=0時，還成立下面的相反不等式

，(3)

式中 A _δ是常數，決定於 δ。

　　後來，J.馬欽凱維奇和A.贊格蒙把上述定理又推廣到函數類h^p(p＞0)，即滿足條件

的圓內解析函數全體。

　　面積積分的重要性，還在於它本質上可以局部地刻畫圓內解析函數f在邊界z＝e^iθ處非切向極限的存在性。確切地說，除瞭一零測度集外，圓內解析函數f在邊界z=e^iθ處具有非切向極限的充分必要條件是

。

這說明 S _δ( f)( θ)與 f的邊界性質有著十分深刻的內在聯系，因此它是表達圓內解析函數邊界性質的一個重要工具。正是這一點，它在研究高維空間的 h ^p理論時，發揮瞭非常重要的作用。