梅森數

　　形如2^p-1的數，記為M_p，這裏p是素數。1644年，M.梅森證明瞭當p=2，3，5，7，13，17，19，31時，M_{p是素數。到目前為止，隻知道28個梅森數是素數，除已提到的8個以外，另外20個是Mp=2^p-1，p=61，89，107，127，521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497，86243，其中2}

-1是所知道的最大素數，長達25962位。

　　關於梅森數有一些簡單性質：①設p是奇素數，素數q｜M_p，則q形如q=2kp+1。②設p=4n+3是一個素數，則2p+1=8n+7是一個素數的充分必要條件是2p+1|M_p。由此推出，23｜M₁₁，47｜M₂₃，167｜M₈₃，263｜M₁₃₁，359｜M₁₇₉，383|M₁₉₁，479｜M₂₃₉，503｜M₂₅₁等。③設p≠q，則(M_p，M_q)=M_(p，_q)=1。

　 　19世紀，E.拉庫斯給出瞭一個判斷M_p是否為素數的方法：若有Δ>0使

，且在二次域 中有一個單位數ε適合 N(ε)=-1，則 M _p為素數的充分必要條件是 ，式中 為ε的共軛數。1930年，D.H.萊默爾改進瞭E.拉庫斯的結果，得到判別法則：設 p是一個奇素數，定義序列

( n≥0)，

則 2 ^p-1是素數當且僅當 l _p-2=0。對於大的 M _p，一般都用這個方法在計算機上進行計算來判斷它是否為素數。梅森數與偶完全數密切相關，求偶完全數等價於求梅森數中的素數。是否有無窮多個 p使 M _p為素數，是數論中尚未解決的著名問題。還有一個未曾解決的猜想是： M _p無平方因子。1967年，L.J.沃倫證明瞭若素數 q滿足 q ²| M _p，則 。

　　梅森數在諸如代數編碼的一些應用學科中有用。