命題邏輯

　　研究由命題經使用命題連接詞構成的更複雜的命題，以及這樣構成的命題之間的推理關係。命題演算是命題邏輯的形式系統(見邏輯演算)，它是19世紀70年代至20世紀初，在對數學基礎及數學推理規律研究的推動下最早建立起來的重要的、完備的邏輯演算系統。其奠基人當推（F.L.）G.弗雷格及其後的G.皮亞諾，B.A.W.羅素等。

　　在命題邏輯中，將被命題連接片語合的初始命題作為整體處理，即不再分析它們的內部結構，它們的性質隻有真與假的區別。。

　　在命題邏輯中通常使用五個命題連接詞：“非(¬)”，“與（∧）”，“或（∨）”，“如果，則（→）”和“當且僅當（↔）”，它們依次稱為“否定詞”，“合取詞”，“析取詞”，“蘊涵詞”和“等值詞”。由命題A經使用否定詞構成命題“非A”。由命題A和B經使用合取詞，析取詞，蘊涵詞和等值詞依次構成命題“A與B”，“A或B”，“如果A，則B，”和“A當且僅當B”。

　　這些更復雜的命題的真假性由構成它們的命題的真假性及命題連接詞的性質決定。“非A”當A真時為假，當A假時為真；“A與B”當A和B都真時為真，否則為假;“A或B”當A和B都假時為假，否則為真;“如果A則B”當A真B假時為假，否則為真；“A當且僅當B”當A和B的真假性相同時為真，否則為假。

　　當一組命題Γ中的每個命題均為真時，命題A也必為真，則稱A是Γ的邏輯推論，記為Γ⊨A。“⊨”表示邏輯推理關系。例如，A→B，A⊨B；A⊨A∨B等。一個命題A，無論其初始命題為真或假，A恒為真，則稱A為重言式，記作⊨A。例如⊨A→(B→A)；⊨¬A∨¬A等等。

　　按照建立形式系統的一般原則（見邏輯演算），命題演算包括以下幾個部分：

　　符號系統包括命題變元p，q，…（表示初始命題的形式符號）及命題連接詞，例如¬，∧，∨，→及↔等。

　　形成規則：①每個命題變元是公式，稱為原子公式。②若A是公式，則¬A是公式，若A和B是公式，則A∧B，A∨B，A→B，A↔B是公式。

　　公式表示命題，形成規則描述瞭在形式系統中怎樣由簡單命題用邏輯連接詞構造復雜的命題。以上兩部分稱為命題演算的語言。

　　可以取如下的公式作為命題演算的公理，例如：A→(B→A)，(A→B)→((A→(B→C)→(A→C))，(A→B)→((A→¬B)→¬A)，¬¬A→A，(A∧B)→A，(A∧B)→B，A→(B→(A∧B))，A→(A∨B)，B→(A∨B)，(A→C)→((B→C)→((A∨B)→C))，等。命題演算的推理規則可取為

。

　　公理和推理規則一經給定，命題演算的定理就完全確定瞭（見邏輯演算）。公式A是命題演算的定理記為⊢A。

　　命題演算的公理表示永真的命題，即重言式。推理規則則保證，當假定被解釋為真命題時，結論的解釋也必為真命題。因此，命題演算的定理一定是重言式，即對於任意公式A，若⊢A，則⊨A。這個性質稱為命題演算的有效性或可靠性，即形式推理可靠地反映瞭直觀的邏輯推理。

　　反之，若公式A為重言式，則A必為命題演算的定理，即若⊨A，則⊢A。這個性質稱為命題演算的完備性，即形式推理完全反映瞭命題邏輯中的直觀推理而無遺漏。是E.L.波斯特於1921年首先證明的。

　　可靠性與完備性刻畫瞭命題演算的語法與語義（命題邏輯）之間的關系。可以說，命題演算就是具有可靠性及完備性的命題邏輯的形式系統。

　　由命題變元的合取式構成的析取式稱為析取范式；類似地，由命題變元的析取式構成的合取式稱為合取范式。任何一個命題演算的公式A都等值於一個析取范式A′及一個合取范式A″，即A↔A′及A↔A″為重言式。A′及A″分別稱為A的析取范式及合取范式。

　　如果將命題邏輯中的命題變元看作一般的變元；用“0”和“1”依次代替命題變元的兩個取值“假”和“真”；用“′”，“·”，“+”依次代替邏輯連接詞“非”，“和”，“或”而保持它們原有的意義不變，這樣就得到瞭一個定義在兩個元素0和1上的佈爾代數。由G.佈爾於1847年建立的佈爾代數（也稱邏輯代數）是用數學方法研究邏輯學的最初嘗試。

　　

參考書目

　王憲鈞編：《數理邏輯引論》，北京大學出版社，北京，1982。

　A.Church，Introduction to MatheMatical logic，Princeton Univ.Press，Princeton，1956.

　J.L.Bell and M.Machover，A Course in Mathe-Matical Logic，North-Holland，Amsterdam，1977.

　J.R.Shoenfield，MatheMatical Logic，Addison-Wesley，Reading Mass.，1967.