調和函數

　　在某區域中滿足拉普拉斯方程的函數。通常對函數本身還附加一些光滑性條件，例如有連續的一階和二階偏導數。當引數為n個（從而區域是n維的）時，則稱它為n維調和函數。例如，n=2時，調和函數u(x，y)在某平面區域內滿足方程

　　若所考慮的區域包含一個閉圓域，例如x²+y²≤R²，則有下列關於調和函數的平均值公式：

即 u( x， y)在圓心的值等於圓周上的積分平均值。

　　更一般地，圓內任何一點x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r＜R)處調和函數u＝u(r，φ)的值可以由下列泊松公式給出：

形如上式右端的積分稱作泊松積分。

　　設u(x，y)為平面區域G中的調和函數，且在G的閉包上連續，則借助於平均值公式可以證明，它不能在G的內部取其最大值與最小值，除非它恒等於一常數。這就是調和函數的最大、最小值原理。

　　由泊松積分出發可解決下列狄利克雷問題：在區域G的邊界∂G上給定一連續函數f(x，y)，要求給出G中的調和函數u(x，y)，使其在∂G上取f(x，y)的值，即

在 G的邊界∂ G滿足一定的條件下，這個問題的解存在且惟一。

　　對於高維的調和函數，也有與上述類似的最大、最小值原理，平均值公式以及相應的狄利克雷問題解的存在和惟一性定理。

　　二維調和函數與解析函數論有著密切聯系。在某區域內的調和函數一定是該區域內某解析函數(可能多值)的實部或虛部；反之，某區域內的解析函數其實部與虛部都是該區域內的調和函數，並稱其虛部為實部的共軛調和函數。用復數z=x+iy的記法，將u(x，y)寫成u(z)，若u(z)在│z│＜R內調和，在│z│≤R上連續，則泊松公式就成為

(0≤r＜R)。

對於任何 α，│ α│＜ R，此式還可寫成

　　泊松積分是近代復變函數論中一個重要的研究工具，由此出發，可得出函數論中一系列重要結果。

　　若u(x，y)滿足“重調和”方程

則稱 u是重調和函數，它是數學物理方程理論中的一個重要函數類。調和函數和重調和函數，在力學和物理學中都有重要的應用。類似地也有高維的重調和函數。

　　由於拉普拉斯方程是橢圓型方程的一個特殊情況，故後者的解的一般性質也是調和函數的性質。