能展開成冪級數（見解析函數項級數）的函數。它是複變函數研究的主要物件。設f(z)是定義在平面開集D內的一個單值的複值函數，α是D內一點。若f(z)在α的一個鄰域內可表為以(z-<α)為項的冪級數
，則稱
f(
z)在
α處是解析的；若
f(
z)在
D內處處是解析的，則稱
f(
z)為
D內的解析函數。
全純函數 又稱正則函數。歷史上對解析函數的研究是從多方面開始的。設f(z)是平面開集D內的復變函數，z是D內一點，若極限
(1)
存在且有限，則稱
f（
z）在
z處可導，這個極限值記為
f′(
z)，稱為
f(
z)在
z處的導數。這是實變函數導數概念在復平面上的形式推廣。不過這種推廣所蘊涵的內容十分豐富，這是因為(1)中的
z+
h乃是
z的二維鄰域內的任一點，極限(1)存在的條件就要強得多。
記
則
。若
f(
z)在
z處可導，則
在(
x，
y)處可全微分並且滿足等式
， (2)
習慣上稱此為柯西－黎曼方程。不過，
J.le R.達朗貝爾在流體力學的研究中早已獲得這組等式；而最早弄清復變函數可微條件的是
L.歐拉。所以這組等式又稱為達朗貝爾－歐拉方程。
設f(z)在D內連續，у是D內一路線，參數方程為z(t)，0≤t≤1。復積分
(3)
可視為路線у的泛函。A.-L.柯西研究瞭復積分(3)的值僅與路線端點有關的條件，他證明瞭：若
f(
z)在單連區域
D內處處有連續導數，則復積分
的值將無關於у的選擇，而隻決定於у的端點(1825)。É.-J.-B.古爾薩改善瞭這個結論的條件，隻要求函數
f(
z)在
D內處處有導數(1900)。這是柯西理論的基礎。據此不難推出，圓域內處處可導的函數與該函數的復積分的值隻決定於路線的端點，是兩個等價的事實。從此，一個開集內的復變函數，如果處處有導數，則稱此函數為這個開集內的正則函數，受法語習慣的影響，也稱為全純函數。
柯西理論的一個重要結果是，正則函數在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數；逆命題亦真。所以解析與正則是等價的。
外爾斯特拉斯意義下的解析函數 K.（T.W.）外爾斯特拉斯是以冪級數為出發點開展對解析函數研究的。設冪級數
(4)
的收斂半徑是一正數，則在以
α為心的一個圓盤
Uα內得到瞭一個解析函數，記為
P(
z，
α)。對
Uα內另一點
b，
P(
z，
α)在
b處有冪級數表示，則在一個圓盤
U
b內也得到一個解析函數
P(
z，
b)，而圓盤
U
b可能不完全包含於
Uα之中。在
Uα內取值
P(
z，
α)、在
U
b內取值
P(
z，
b)的函數稱為
P(
z，
α)從
α到
b的
解析開拓。對
U
b內任一點с，
P(
z，
b)在с處有冪級數表示，因而有
P(
z，
b)從
b到с的解析開拓。這樣，從冪級數(4)出發，沿著所有路線進行所有可能的解析開拓，便獲得一個外爾斯特拉斯意義下的解析函數。不過還應該指出，這種函數可能已非單值而是多值的瞭。
對於區間I上的實變函數f(t)，若在I的任一點的適當鄰域內f(t)可以表示為一個收斂的冪級數，為鑒別起見，稱f(t)為I上的一個實解析函數。
調和函數與共軛調和函數 設f=u+iv是一解析函數，則u=u(x，y)與v=v(x，y)必在定義域內滿足拉普拉斯方程；u和v都是調和函數。兩調和函數u與v，若在定義域內處處滿足柯西-黎曼方程(2)，則稱v是u的共軛調和函數。一般地說，一個調和函數不一定有單值的共軛調和函數。例如在z≠0上的調和函數log│z│的共軛調和函數是v(z)=argz，但在z≠0上它並非單值。