乘法適合交換律的環。對交換環隻有“理想”、“零化子”、“零因數”、“極小（大）條件”等定義，而不區分“左”“右”。無零因數的交換環叫做整環。數環與域F上的多項式環F[x]都是整環。整環不一定有單位元素，如偶數環。整環上的多項式環仍為整環。

　　設R為有正則元的交換環。。如果S是R中一些正則元作成的乘法封閉集合(即S中任二元素之積仍在S中)，那麼R可擴張成一個有單位元素的交換環

叫做 R關於 S的分式環，使 S的元素在 R中恒有逆元素。特別地，當 S為 R中所有正則元作成的子集時（此時 S自然地成為乘法封閉集合）， R就簡稱為 R的分式環。又如果 R是整環，那麼 R的分式環必為域，特稱為 R的分式域(或商域)。如整數環的分式域便是有理數域。

　　局部化　設R是一個有單位元素e的交換環。它一定含有極大理想。所謂極大理想，是指R的一個理想N，滿足條件：N＜R，且N與R之間不能再介入R的其他理想。R的一個理想N是極大理想，必要而且隻要，剩餘類環R/N是域。當R隻含一個極大理想時，就稱之為局部環；當R隻含有限多個極大理想時，就稱之為半局部環。設P是R的一個質理想，S是P在R中的餘集，在

中視 與 為同一元素，必要而且隻要，有 使 。於是可把 S -1 R定義成一個交換環，特記為 R p，並稱為 R在 P處的局部化。它是局部環並以 P R p為惟一的極大理想。如果對每個環 R來說， R具有某個性質，必要而且隻要對 R的每個質理想 P， R p恒具有該性質，那麼環的該性質稱為局部性質。若要檢驗某環 R是否具有某個局部性質，則隻要檢驗每個 R p即可。由於 R p比 R的結構簡單，因此由局部特性來掌握整體特性是一個有效的手段。

　　高斯環　若R中有α=bс，則b稱為α的一個因子，自然，с也是α的一個因子。或者α稱為b的倍元，也稱為b整除α，記為b|α。顯然單位元素e是任意元素的因子，零元素θ是任意元素的倍元。R中一個有逆元素的元素，也稱為R中的一個單位。例如，單位元素e就是一個單位；在整數環中，1與－1是僅有的兩個單位；在多項式環F[x]中，一個元素為單位，必要而且隻要，它是零次多項式（即域F中的非零元素）。環R中兩個非零元素α與b如果能互相整除，即α｜b且b|α，那麼就說α與b相通。兩個非零元素α與b是相通的，必要而且隻要，有R中的單位δ使α=bδ。如果非零元素α=bс，且b與с均非單位，那麼就說b是α的一個真因子（自然，с也是α的一個真因子）。如果非零元素α不是單位，且無真因子，那麼就說α是一個不可約元素。如果非零元素p不是單位，且具有“當p｜αb時，必有p|α或p|b”之性質，那麼就說p是一個質元素。R中的質元素恒為不可約元素，但是反過來說就未必正確。例如在數環

中，2是不可約元素但非質元素，因有 ，而 。環 R中的元素с若既是 α的因子又是 b的因子，則с稱為 α與 b的一個公因子。如果 α與 b的一個公因子 d具有“ α與 b的任意公因子恒為 d的因子”之性質，那麼就說 d是 α與 b的一個最高公因子。一般說來，兩個元素未必有最高公因子。例如在上述的環中，6與（ ）就沒有最高公因子。所謂高斯環或惟一分解整環，是指有 e的整環 R，其中每個非單位 α≠ θ均可惟一地分解成一些質元素 p i的乘積。所謂惟一性，意即若

，其中諸 p i與 q j均為質元素，則必 m= n，且可排因子的次序使 p i與 q i相通( i=1，2，…， n)。有 e的整環 R是高斯環，必要而且隻要滿足下列條件①與②或①與③：

　　①R中真因子的降鏈α1，α2，…必止於有限處，即從任意非零非單位α1開始，若α1有真因子α2，α2又有真因子α3，如此下去，到某步必得出一個不可約元素，設其為αn，於是真因子的降鏈α1，α2，…即到αn為止。

　　②R中的不可約元素恒為質元素。

　　③R中任意兩個不全為零的元素恒有最高公因子。

　　若R為高斯環，則R[x]亦然。於是域F上的多項式環F[x1，x2，…，xn]恒為高斯環。如果有e的整環R的理想恒為主理想(即由一個元素生成的理想)，那麼就說R是一個主理想環。有e的整環R是一個主理想環，必要而且隻要滿足上述條件①與如下的條件④：R中任意不全為零的α、b恒有一個形式上為αs+bt的最高公因子。因此，主理想環恒為高斯環，但是反之則未必然。設R為有e的整環。如果對R中每個非零元α，恒有非負整數‖α‖與之相應，並對R中任意α，b(α≠θ)，恒有q、r∈R使b=qα+r，且r=θ或者‖r‖＜‖α‖，那麼就說R是一個歐氏環。歐氏環恒為主理想環，但是反之則未必然。整數環I為歐氏環，從而為主理想環，但是多項式環I[x]僅為高斯環，而非主理想環。

　　諾特環　一個交換環R的所有冪零元素構成R的一個理想K，稱為R的克德根或冪零根。如果一個交換環除冪零元素外，不再含其他的零因子，便稱為準整環。整環顯然為準整環。設R是一個交換環。R的一個理想P為素理想，必要而且隻要R/P為整環；R的一個理想Q叫做準素理想，如果R/Q為準整環；R的一個理想A叫做可分解的，如果有R的理想B、C，使A＜B，A＜C，A=B∩C，否則便說A是不可分解的；R的素理想恒為不可分解的；當R為諾特環（即其理想滿足極大條件）時，R的不可分解的理想恒為準素理想，R的克德根必為冪零理想；當R為準整環時，R的克德根必為素理想。設Q為交換環R的任意一個準素理想，於是R=R/Q為準整環，其克德根K為素理想，從而

為整環。由 R～ R，及 R～ 易知， R～ ，設此同態映射之核為 P，則由 R/ P≌ 知， P為 R的一個含 Q的素理想，它是由 Q所惟一確定的，叫做與 Q相伴的素理想，而 Q則叫做屬於 P的一個準素理想。屬於同一個素理想 P的兩個準素理想的交仍為屬於 P的一個準素理想。由此便可引出諾特環中著名的交的惟一分解定理：在諾特環中，每個理想 A均可分解為有限個準素理想 Q 1， Q 2，…， Q r的交，使與諸 Q i相伴的素理想 P i是彼此不同的，即此交不能夠縮短，記為 又若 A再分解為諸準素理想 Q i *的不能夠縮短的交 ，則必有 r= s，且可排諸 Q i *的次序使與 Q i *相伴的素理想恰為 P i( i=1，2，…， r)。關於諾特環還有希爾伯特定理：如果 R是有 e的諾特環，則多項式環 R[ x]亦然。

　　（A.）E.諾特於1921年引進一般的滿足極大條件的交換環而研究其理想論，這是由於代數幾何的發展而需要研究多項式環的理想理論，後者的主要問題是判斷一個多項式f是否屬於一個給定的理想

。此判斷方法是通過把理想分解成準素分支而實現的。

　　維數　設

是環 R中的素理想鏈， s稱為此鏈的長度， R中所有的素理想鏈的長度的最大值（可能是無限）叫做 R的維數，記為 dim R。當 R為諾特局部環以 M為其惟一極大理想時，對每個屬於 M的準素理想 Q，以δ( Q)表生成 Q的最少元數，再以δ( R)表諸δ( Q)中的最小值，則有 dim R=δ( R)。又若 M恰可由δ( R)個元素生成，則稱 R為正則諾特局部環。

　　戴德金環　設R為有e的整環，F為其分式域，而且R＜F(即R非域)。F的一個子集X如果滿足：①X是F作為加法群的一個子群；②當α∈R，x∈X時，有αx∈X(即RX⊂X)；③有β∈F，β≠θ使βX⊂R，則說X是R的一個分式理想。環R的理想顯然均為R的分式理想，也可叫做R的整理想。F中的一個元素δ如果是R上首項系數為e(一般不寫出來)的多項式

的根，則說δ是 R上的一個整元素。如果在 F中， R上的整元素恒在 R中，則說 R是整閉的，如同 R的兩個整理想 A、 B可以相乘而得積 A B仍為 R的整理想一樣，可以定義 R的任意兩個分式理想 X與 Y的乘法，而且積 XY仍為 R的一個分式理想。易知此乘法適合交換律與結合律，又 R自己作為一個整理想（自然也是 R的一個分式理想）與 R的任何分式理想 X相乘時，由於 R有 e，就恒有 RX= X，故 R的全部分式理想在乘法下構成一個有單位元素的交換半群，特別，其中所有非零分式理想又構成一個有單位元素的交換子半群。如果這個子半群還是一個子群，就說 R容許理想理論。有 e的整環 R如果滿足下列條件就叫做一個戴德金環： R的每個非零理想 A恒可表為 R的一些素理想 P i的乘積， A= ，且除諸 P i的次序外，此表法是惟一的。

　　戴德金環的主要定理有兩個。其一，有e的整環R為戴德金環，必要而且隻要R滿足下列三組等價條件之一：①R容許理想理論。②對R的非零(整)理想A、B隻要A⊂B就有（整）理想C使A=BC；每個非零真（整）理想恒可惟一地表為有限個極大（整）理想之積。③R為諾特環；R是整閉的；R的非零素理想恒為極大理想。

　　其二，設R為有e的整環，F為其分式域，E為F的有限擴張（見域），Ω為E中所有在R上為整的元素作成的環。如果R為戴德金環，則Ω亦然。例如整數環R就是一個戴德金環。若E是有理數域F（即R的分式域）的一個有限擴張域，則E是一個代數數域，其中所有代數整數就組成一個環Ω，由於R是戴德金環，故Ω也是戴德金環。事實上。戴德金環的發生和發展就與代數數論有關，而且是從其中抽象出來的。

　　交換環是交換代數的主要研究對象。